確立の問題だと思うのですが…

質問

5種類の要素が5個づつ、合計25個の要素がある中から、ひとつづつ5回要素を取り出すとき、何通りの取り出し方ができるのか計算したいのですが…

例えば、下記の25個の要素があるとして
5回取り出したときに、全部が○だけの場合もあると思いますし、5個とも全部が違う場合もあると思います。

○○○○○
△△△△△
×××××
□□□□□
☆☆☆☆☆

ただし　『○○○○×』　と　『×○○○○』　は、×が1個と○がよっつなので、パターンとして、ひとつのものと考えます。

答えは『52通り』になるらしいのですが、これを計算する場合の計算式、公式のようなものがあったら教えて下さい。
宜しくお願い致します。

回答No.4

debut · ベストアンサー

No1です。
申し訳ありませんでした。
Ｃ は、組合せ（コンビネーション）のことで、数学の一種の
計算の決まりを表したものです。
例えば、1,2,3,4,5の５つから３つの数字の組合せが何通り
あるかを計算するときに、5Ｃ 3（実際は、5や3はＣ の左下
と右下に小さく書くのですが）と表して、
(５×４×３)/(３×２×１)の計算をします。
分子はＣ の左の数から始まって１ずつ下げてかけていき、
それをＣ の右の数ぶんだけ続け（５から始まって１ずつ
下げながら３個まで）、分母はＣ の右の数から始まって、
１ずつ下げながら１になるまでかけていきます。
9Ｃ4なら、(9×8×7×6)/(4×3×2×1) といった具合です。

先ほどの例1,2,3,4,5から３つとる、では、5Ｃ3の計算に
より、例えば(1,2,3)を選んだ場合、
(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)はすべて
同じ１通りとして求めることができます。

不明な点があればどうぞ。

お礼

返信が遅くなって申し訳ありませんでした。
とてもわかりやすくご説明いただきまして、本当にどうもありがとうございました。
とても助かりました。

回答No.5

j-mayol

Ｃの計算方法については＃４の方が解説されているとおりです。
蛇足とは思いますがどうしてそのような計算になるのか説明しておきます。
例えば５個の中から３個を順番に並べる場合を考えます。
一番左は５通り、真ん中は１つ使ったので４通り、一番左は２個使った後なので３通りになります。よって３個を順番に並べる並べ方は
５×４×３の６０通りになります。
ところが３個を取り出す組み合わせの場合は、順番がどうであってもいいのですよね。例えばａ，ｂ，ｃの組み合わせを順番も考えると
（ａ，ｂ，ｃ）（ａ，ｃ，ｂ）（ｂ，ａ，ｃ）（ｂ，ｃ，ａ）
（ｃ，ａ，ｂ）（ｃ，ｂ，ａ）の６通りですが、組み合わせは１通りと
考えねばなりません。他の組み合わせの場合もすべて６倍数えてるので
５×４×３を６　（３×２×１）で割ってやらねばならないのです。
今回のご質問の場合、仕切りを入れる順序は関係ないので、
順序が関係ない組み合わせの公式、Ｃを用いたわけです。

補足

返信が遅くなって申し訳ありませんでした。
丁寧に、ご説明いただきまして、ありがとうございます。
もし、仕切りの順序が関係する場合だとどうなるのでしょうか？
ご面倒でなければ、教えていただけたらと思います。

回答No.3

Snusmumriken

＞5種類の要素が5個づつ、合計25個の要素がある中から、
＞ひとつづつ5回要素を取り出すとき、何通りの取り出し
＞方ができるのか計算したいのですが…

(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^5 を展開したときの x^5 の係数が求める答え。
x^5 の係数は 126 である。

＞これを計算する場合の計算式、公式のようなものがあったら教えて下さい。

一般に、
Ｍ 種類の要素が N 個づつ、合計 M*N 個の要素がある中から、
ひとつずつ K 回要素を取り出すとき、F(M,N,K) 通りの取り出し方
があるとすると、F(M,N,K)の値は、

(1+x+x^2+ …… +x^N)^M

を展開したときの x^K の係数に等しいから、
F(M,N,K)=
Σ[i=0 to floor(K/(N+1))](comb(M,floor(K/(N+1))-i)*comb(M-1+K-(N+1)*floor(K/(N+1))+(N+1)*i,M-1)*(-1)^(floor(K/(N+1))-i)).

補足

ご回答いただきましてありがとうございました。
お恥ずかしい話なのですが、元々文系だし、学校を卒業してから随分たつし、私は凄く初歩的な事からわかっていないと思うので、Snusmumrikenさんの回答が理解できませんでした。

「(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^5」の「x」は何にあたるのでしょうか？
「5種類」の「5」でしょうか？
それとも「25個」の「25」でしょうか？
それとも区切り分を含めた「9」でしょうか？

それから
「^」とは何を表しているのでしょうか？

> F(M,N,K)=
> Σ[i=0 to floor(K/(N+1))](comb(M,floor(K/(N+1))-i)*comb(M-1+K-> (N+1)*floor(K/(N+1))+(N+1)*i,M-1)*(-1)^(floor(K/(N+1))-i)).
上記の式にいたっては、まったく理解できませんでした。

折角、公式にこだわってご回答頂きましたのに、本当に申し訳ありません。

回答No.2

j-mayol

#1の方のおっしゃっている通り１２６通りが正解かと・・
重複順列の考え方を使うのですが、私は重複順列について
次のように考えると分かりやすいと考えています。
１個も選ばなくてよいという条件で５個選ぶ。
⇔最低限１個は選ぶ条件で１０個選ぶ。
今の場合では１０個選んだ後で、各種類の記号を１個ずつ取ってやればいいだけなので・・
そうすると１０個を５種類に分ければいいことになります。
下の図で分かるように１０個並べたときには隙間は９個なので
●●●●●●●●●●
９個の隙間から４個選べば５種類に分けられます。
よって９Ｃ４で１２６通りという答えが出て来ます。

補足

ご回答いただきましてありがとうございました。
No.1のdebutさんの補足にも書かせていただいたのですが
「C」の意味がわからないので「9C4=126」の意味が理解できていません。
何かの公式の省略形みたいなものなのでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.1

debut

52通りなんですか？

一般に重複組合せというもので、
５つの場所と４つの区切りの置き方によって
計算できます。
○、△、×、□、☆という順番を決めておいて
例えば、｜を区切りとして、
○○△□☆というのを　○○｜△｜｜□｜☆　とか、
△△×☆☆というのを　｜△△｜×｜｜☆☆　とか
すると、区切り｜を９個の場所のどこに置くかという
置き方（９個から４個とる組合せ）の数ですべての
パターンが求められます。
そのようにすると、126通りになりますが・・・

場合分けしてやってみれば、
１種類・・５通り
２種類・・40通り
　例えば○と△では(1個,4個)(2,3)(3,2)(4,1)と
　４通りで、２種類の選び方は5Ｃ2＝10通りなので
　合計40通り。
３種類・・60通り
　例えば○と△と×では(1個,1個,3個)が３通り
　(1,2,2)が３通り。３種類の選び方は5Ｃ3＝10通り
　なので、合計60通り。
４種類・・20通り
　例えば○と△と×と□では、(1個,1個,1個,2個)
　しかなくて、これが４通り。４種類の選び方は
　５通りなので、合計20通り。
５種類・・１通り。
と、やはり126通りになってしまいます。
どうなんでしょう？

補足

ご回答いただきましてありがとうございました。
もしかしたら初歩的なことかもしれないのですが
「5Ｃ2＝10通り」とか「5Ｃ3＝10通り」の「C」って何でしょうか？
「C」の意味がわかれば
「5Ｃ2＝10通り」だと「合計40通り」になるということの意味がわかるでしょうか？
お手数をおかけしますが宜しくお願いいたします。