板ばねのたわみ量と最大応力の計算
＜やりたいこと＞
下図のような直線と円弧からなる板ばねにおいて、
上の直線部 L1 と下の直線部 L2 の長さが異なる(L1<L2)場合の
全たわみと最大応力を計算したい。
■
■ ／↓P
■( ──────中心線
■ ＼
■ ＼↑P(反力)
■■■■■■←壁
＜参考＞
上の直線部と下の直線部の長さが同じ場合は上下対象となるので、
荷重Pによって上半分の直線部と円弧部に発生するモーメントM1,M2から
弾性エネルギーU1,U2を算出し、U1とU2を足し合わせPで偏微分したものを
2倍(上下対象)して全たわみを求めました。
最大応力は図の円弧の左端となるので、
円弧部のモーメントM2を断面係数で除して求めました。
＜質問事項＞
上の直線部 L1 と下の直線部 L2 の長さが異なる(L1<L2)場合、
?たわみの計算は以下の考え方であってますでしょうか。
中心線と上の直線部とのなす角(=中心線と下の直線部となす角)をα
円弧部の半径をr、荷重点(反力点)をx=0,円弧部と直線部の接点をθ=0とすると
上半分は、荷重Pによって直線部と円弧部に発生するモーメントM1,M2を求め、
M1=Px cosα (※0≦x≦L1)
M2=P(L1+r sinθ)cosα (※0≦θ≦β)
下半分は、反力Pによって直線部と円弧部に発生するモーメントM3,M4を求め、
M1=Px cosα (※0≦x≦L2)
M2=P(L1+r sinθ)cosα (※0≦θ≦β)
M1,M2,M3,M4から弾性エネルギーU1,U2,U3,U4を算出し、
全て足し合わせてPで偏微分すれば、全たわみ量を算出できる。
?最大応力はどう計算すればよいでしょうか？(どこが最大になる？)
<以下修正します>
下半分は、反力Pによって直線部と円弧部に発生するモーメントM3,M4を求め、
M1=Px cosα (※0≦x≦L2)
M2=P(L2+r sinθ)cosα (※0≦θ≦β)
~~
<以下修正します>
下半分は、反力Pによって直線部と円弧部に発生するモーメントM3,M4を求め、
M3=Px cosα (※0≦x≦L2)
~~
M4=P(L2+r sinθ)cosα (※0≦θ≦β)
~~
<追記>
質問の意図がわかりにくいかもしれませんので、以下のように書き直します
?の質問
全たわみを求めるには、以下の考え方で良いか？
1. 板ばねを円弧部の中心から上半分と下半分に分け、
円弧部が直線部と繋がっていない方を固定端とみなした板ばねを考える
2. 上半分と下半分の板ばねについてそれぞれ荷重Pによるモーメントから
弾性エネルギーを求め、カスチリアーノの定理より変位を求める
3. 2で求めた上半分と下半分の板ばねの変位の合計が全たわみとなる
?の質問
最大応力発生部と最大応力値について、以下の考え方で良いか？
1. 最大応力発生部
荷重P(または反力P)の荷重作用線に垂直で最も遠い場所、
つまり、図の円弧部の左端となる。
2. 最大応力値:σmax
σmax=M/Z (M:曲げモーメント、Z:断面係数)
ここで使用する曲げモーメントはM2とM4のどちらか？
上半分の荷重Pによる固定端での曲げモーメント:M2=P(L1 + r sinθ)cosα
下半分の反力Pによる固定端での曲げモーメント:M4=P(L2 + r sinθ)cosα
お礼
大変遅くなりました。 回答ありがとうございます。 鉛直変位をxφで近似、わかりました！