三角形の高さの変化と底辺に接する角度の比率

質問

私は絵を描いていて、
透視図法などを使う時
消失点が紙の外にあると
手間がかかるので
なんとか、計算で消失点を描かずに
線が引けないかと考えているのですが

２点透視を描くのに、
消失点とそこから伸びる
２本の線を三角形とみたてて、

消失点が三角形の上部に位置する頂点
２本の線に交わる、紙に対し垂直な線が底辺
消失点を通る、紙に対し水平な線が三角形の高さ
とすれば、
消失点が水平線上を動くことは
三角形の高さが変わる
（三角形の上部頂点が上下移動）
する事だと思い、
三角形の
底辺に接する２つの内角とその比率がわかれば

同じ水平線上の自由な位置に消失点を
置いたのと同じいろいろな線が引けると
思ったのですが

底辺が水平線な三角形の
高さが変化（上部頂点の位置が上下に垂直移動）
しても、底辺に接する２つの角度の比率
が変わらないのかどうか
自分には確信がもてないので
２つの角度の比率が変化してしまうかどうか
ご存知の方がおりましたら
是非、教えてください。

よろしくお願い致します。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

[1] 角度の比率が一定というわけには行きませんで、角度を出すには計算が必要ですが、[2]作図でも解決できます。

[1] 紙に描いた水平線hの延長上に消失点Bがあって、また、hと垂直な線vが描いてある。hとvの交点をO、v上の任意の点をAとすると、直角三角形AOBができます。「三角形の高さ」と仰っているのは、OBの長さのことですね。で、v上にもう一つ点Cを取って、直角三角形COBを作る。すると、∠OABと∠OCBの比率は、OBの長さを変えたときに複雑に変化します。（ですから、お考えの方法は旨く行きません。）
　∠OABを計算する方法は、

∠OAB = arctan(OBの長さ/OAの長さ）

です。arctanはアークタンジェント。関数電卓やExcelなどで計算できます。Excelでやる場合は、
=(180/pi())*Arctan(OBの長さの数値 / OAの長さの数値)
を入力。関数電卓なら、DEG（角度を「度」で表す）モードにしておいてから、
OBの長さの数値 [÷] OAの長さの数値 [=] [Atan]
です。

[2] 計算しなくてもできます。作図で∠OABを作ればいいのです。
(1) まず、hとvを描きます。交点Oが決まります。
(2)h上に点Bがあるわけですが、紙からはみ出してしまうBの代わりに、OBの長さを例えば1/4に縮小したところに点B'を描きます。（縮尺は何倍でもいいけれど、B'が紙に入るように選ぶんです。）
(3)v上の任意の点Aを決めます。
(4)v上に別の点A'を置きます。このとき、OA'の長さが、OAの長さの1/4（つまり(2)で使った縮尺）になるようにします。
（なお、(3)(4)の手順を逆にして、つまり先にA'を置いて、OA’の長さの4倍（(2)で使った縮尺の逆数）がOAになるようにAを決めても同じことです。）
(5) そして、A'とB'を結ぶ。すると∠OA'B'と∠OABは等しい。
(6) だから、A'B'と平行で、かつ、Aを通る線を描けば、これが辺OB（の一部）になっています。（この作図は三角定規を使っても良いし、コンパスでもできます。もちろん分度器でも。）

　キチンとやるには[2]の方がいいかな？と思います。なぜなら[1]は、計算した角度を分度器で正確に作図するのが案外難しいから。（大きな分度器をお持ちなら問題ないかもしれませんが。）

お礼

回答ありがとうございました。

[1] 三角関数を使わないと計算は無理でしたか
　　できれば使いたくなかったので、
　　他の方法をあれこれ考えていましたが
　　甘かった様です。

[2] 相似の性質を使うんですね
　　小さく描いて大きく拡大しても
　　形は変わらないという

　　確かに、これなら紙に描けさえすれば
　　どんな大きさにもできますね
　　全然気がつきませんでした。

　　描きたいものを先に小さく作図しておいて
　　あとで拡大するという事でしょうか。

　　教えてくださってありがとうございました。
　　助かりました。

回答No.1

chie65536

「消失点まで伸びる平面に、格子状の碁盤の目を描く方法」は習得されていますか？

これを習得していると、消失点が紙の外にあっても、苦も無く線が描けます。

紙の中央の垂線、紙の端の垂線、上側の消失点から伸びた斜線、下側の消失点から伸びた斜線、の４本で囲まれた台形(紙の上での台形、絵的には長方形)を「上下に２等分」「左右に２等分」してみて下さい。

「左右に２等分」は、全体の台形に対角線を引き、上下に２等分した線と対角線が交わるポイントを通る垂直線で等分されます。

それが出来たら「２等分したのを更に２等分」と繰り返し、４等分、８等分…と細かくしてみて下さい。

このように「上下に○対△で分割した線」と「斜めに引いた対角線」の２本を使うと「左右に○対△で分割する線」が引けます。

これを応用すれば、平面上の自由な場所に自由な平行線を引けるようになります。一番難しい「斜めに描かれた２本の平行線」とかも。

お礼

回答ありがとうございます。

自分もこの方法は存じておりました

私が角度を測ってまで、消失点を水平線上で移動させることにこだわったのは、２点透視をかくために、
一点透視でできる三角形（紙の外へはみだせば台形）
を左右反転すれば、２点透視となり、
２点透視は２つの消失点が同じ水平線上に
なければならないので、三角形を左右反転して
消失点の位置を水平線上でスライドさせれば
左右対称でない２点透視が描けるのでは
ないかとおもったのです。

説明が足りず大変失礼致しました。