事象と認識について

質問

次の問題を教えてください。
S=T={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}とし、関数f:S→Tを「f(x)={ｘを４で余った余り}」と定義する。例えば、f(5)=1,f(6)=2である。
(1)このfから生成した分割P(f)を求めよ。
(2)分割P(f)から生成される集合体F(P(f))を求めよ。
(3)関数g:s→Tを「g(x)={ｘを2にわった余り}と定義すると、gはF(P(f))-可測であるか否かを吟味せよ。
宜しくお願いします。
PS.「確率について…２」については無視してください。
　　締め切りたいのですが，解答がなく締め切れません。

回答No.1

鳴瀬 美幸（@naruse） · ベストアンサー

測度論ですか？　全くの無知ですので的外れ覚悟ですが用語の語感だけを頼りに。
(1)このfから生成した分割P(f)を求めよ。
分割ですよね？　とすれば分割P(f)とはSの2元についてfによる像が一致するとき同値であるとした同値類の意味でしょうか？
(i)P(f)={{0,4,8},{1,5,9},{2,6},{3,7}}？
(2)分割P(f)から生成される集合体F(P(f))を求めよ。
集合体って確か和や積や補集合をつくる演算に関して閉じてるやつですよね？
P(f)の2元をとって和を考えてみました。これはcombination(4,2)通りあります。
(ii){0,1,4,5,9},{0,2,4,6,8},{0,3,4,7,8},{1,2,5,6,9},{1,3,5,7,9},{2,3,6,7}
P(f)の2元をとって和を考えてみました。これはcombination(4,3)通りあります。
(iii){0,1,2,4,5,6,8,9},{0,1,3,4,5,7,8,9},{0,2,4,6,7,8},{1,2,3,5,6,7,9}
あと、本当は補集合や積を考える必要がありますが実際には必要ないですよね。
空集合とSと(i)、(ii)、(iii)であげたものの全体が求める集合体でしょうか？
(3)関数g:s→Tを「g(x)={ｘを2にわった余り}と定義すると、gはF(P(f))-可測であるか否かを吟味せよ。
(1)や(2)の解釈が正しいとしてgの可測性は定義に従って実直にチェックすれば
よいのでしょうか。それとももっと簡単な判定方法がある？
うだうだと適当な内容でごめんなさい。