原点強制通過させたときの相関係数

質問

原点を強制通過させたとき、つまりｙ＝mｘという関数形で回帰直線を作ったとき、相関係数ｒはどのように求めればよいのでしょうか。
エクセルの関数に適当なものはありますか？

回答No.1

yuntanach

もともと相関係数とは、実際のデータの分散に対する、
回帰直線から計算される予測値の分散の比(決定係数)に
ルートを掛けたものです。

つまり、相関係数rは、データの組(xi, yi)に対して
y=ax+bのxにxiを入れて計算した予測値をYiとして
得られた組(xi, Yi)に対して、yiの平均をμyとすると、
r^2 = Σ{(Yi-μy)^2}/Σ{(yi-μy)^2}　(*)
となっている決定係数がまずあるわけです。
ここから、式を簡単に表すために共分散をSxyなどで
表すと、
r = Sxy/{sqrt(Sxx)sqrt(Syy)}　　　　(**)
と変型できることから、
これが相関係数rの公式になっています。

この(*)から(**)への変型の過程ではy=ax+bのような
普通の回帰直線を前提にして共分散などで
複雑な部分を置き換えているので、zitherさんの
「原点を強制通過させ、回帰直線を強引にy=mxで表す」目的にはそぐいません。
ならば、大もとの(*)を直接利用すればいいのでは
ないでしょうか。

すべてを網羅して調べたわけではありませんが、
残念ながら、ざっと見ではこれを一発で計算する
エクセル関数はないようです。

エクセルで計算するなら、
例えば、xiがA列、yiがB列にあるとして、
C列にはzitherさんが求めた回帰直線の
式からmxiをまず計算しておきます。
ここからD列にはB列からyの平均を引いて自乗したもの、
E列にはC列からyの平均を引いて自乗したものを
入れておき、E列の合計をD列の合計で割ったものに
ルートを掛ければ、お望みのものになるのではない
かと思います。