濃度希釈の問題

質問

容積V(m3)のお風呂に硫黄分４％の温泉が入っています。硫黄分1％の源泉で薄めた場合、何時間後に1.5％の硫黄分になりますか？源泉の流量をM(m3/hr)とする。
また、T時間後の濃度を求めよ。

長らく、微分積分をやっていないので、すっかり忘れてしまいました。
どなたか教えてください。
硫黄分4.5％や、1.5％は、Xなどと一般化してもかまいません。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

Cocotte_rn · ベストアンサー

No.1です。気持ちを新たに考え直しました。

問題を簡単にするために、温泉を(硫黄分0%の)お湯で薄めることとします。また、
少しお湯を入れると、よく混ざってから入れた分だけこぼれるとします。
微少流入量 = x とすると、元の濃度と比較してx投入後の濃度 = 1/(1+x) となります。
合計で入れた源泉の量 = n とすると、(n/x)回繰り返した後の濃度は、1/(1+x)^(n/x)
となります。
元の濃さのp分の1になるまで薄めたとすると、
　　1/(1+x)^(n/x) = 1/p
　　(1+x)^(n/x) = p
　　((1+x)^(1/x))^n = p
xを0に限りなく近づけると、(1+x)^(1/x)は自然対数eに収束するので、
　　e^n = p　　…… (1)
両辺の対数を取って、
　　n = ln(p)　　…… (2)
となります。

ところで、「4%の温泉を1%の源泉で薄めて1.5%になるまで」と言うことは、「3%の温泉を
(硫黄分0%の)お湯で薄めて0.5%になるのはいつか」つまり、「濃度が6分の1になるのはい
つか」と言うのと計算上は同じになります。
上記の式(2)に当てはめると、p=6になりますので、
　　n = ln(6) = 1.792
となります。
（なお、lnの値はExcelをお使いでしたら「=ln(6)」と入れれば簡単に値が求まります）
これは、Vの1.792倍の温泉を加えれば1.5%に薄まるということなので
　　1.792 * V / M
が初めの答えとなります。

T時間後の濃度をX(%)とすると、上記(1)式を元の温泉と源泉の濃度に合わせると
　　e^(T*M/V) = 1/((X-1)/3)
となります。これを整理して、
　　e^(T*M/V) = 3/(X-1)
　　X = 3/(e^(T*M/V)) + 1
となります。
（Excelをお使いでしたら、自然対数eはexp(1)を使えばOKです）

（おまけ）
元の問題で、元々入っている温泉の濃度をA(%)、加える源泉の濃度をB(%)とすると、
T時間後の濃度X(%)は
　　X = (A-B)/(e^(T*M/V)) + B
となります。(AよりBが濃くても成り立ちます)

回答No.3

Cocotte_rn

No.1ですが、問題の理解が足りなかったようです。すみません。
単純な溶質／溶液で求められません。
分かったら再度解答したいと思います。

回答No.2

Cocotte_rn

No.1です。それでは濃度は均一に混ざると仮定します。
溶液の濃度計算は、下でも書いたとおり「溶質(硫黄)／溶液(温泉全体)」で求めることができます。
容積V(m3)で硫黄分が4%ですと、溶質はV*0.04となります。
X時間後に1.5%になるとすると、X時間後までに注がれる源泉の硫黄はM*X*0.01、源泉の量はM*Xですので、元の温泉と合わせた濃度は
　(V*0.04+M*X*0.01)/(V+M*X) = 0.015
となります。これを解いて、
　X = 5*V/M
が求まります。

T時間後の濃度は上記のXをTにするだけです。
　(V*0.04+M*T*0.01)/(V+M*T)

お礼

どうもありがとうございます。
お風呂はどんどんあふれていって薄くなるので、難しく考えすぎていたようです。x時間後の容積をV+MXと考えてよいわけですね。
助かりました。

回答No.1

Cocotte_rn

何かの課題のようにも見えるので、ヒントを記載します。
溶液の濃度計算は、微分積分を使わなくても「溶質／溶液」で求めることができます。
温泉があふれないとすれば、1.5%にするためには元の量の５倍で薄めればいいことに
なります。(解答そのものは省略いたします)
T時間後の濃度は、(硫黄の量)/(温泉全体の量)となります。

上記の式は均一に混ざるのが前提なので、温泉があふれてしまうとそもそも成り立た
ないのですが、いかがでしょうか。

補足

迅速な御回答ありがとうございます。
質問が言葉足らずであったことをお詫びします。
さて、この問題ではかけ流しの温泉を想定していますので、4％の温泉は、お風呂にいっぱいの状態から、1％の源泉を連続的に入れていきます。ですから、濃度は時間ごとに刻々と変化します。また、濃度は均一に混ざると仮定してください。

よろしくお願いいたします。
なお、問題文で記述した「硫黄分4.5％や、1.5％は、Xなどと一般化してもかまいません。」の4.5％は、4％の間違えです。混乱させて申し訳ございません。