今日のテレビでやっていましたね！
答えは、「乾いた空気の方が重い」でした。
テレビでは十分に科学的な説明がなかったので、補足します。
一般に、空気の成分はN2 79%, O2 21% とされています。
（CO2,アルゴン等は省略）
これを計算すると、平均分子量は28.8となります。
つまり、1モル=22.4m3で、28.8kgになるということです。
→28.8kg/22.4m3=1.286kg/m3
一方、水蒸気（水分ではない！ 完全に気体になった水蒸気）の分子量は18ですから、1モル=22.4m3で18kgとなります。
→18kg/22.4m3=0.804kg/m3
すなわち、100%空気の比重量が1.286kg/m3であるのに対し、1%水蒸気が混在(容積比で）すると、
(1.286kg/m3x0.99m3+0.804kg/m3x0.01m3)/(0.99m3+0.01m3)=1.281kg/m3
1.281<1.286
で、この方が軽い・・・
という結論です。
しかし、わたしはこの解釈には一寸疑問を持ちます。
問題は、「湿った空気」の定義です。
空気中に水分があっても、これが水蒸気の形であるなら、特に「湿った」という挙動はしません。
水蒸気が凝縮して「水分」になって初めて「湿った」挙動をするはずです。
凝縮した水分を含んだ大気は、霧とか雲とか日常身の回りにあります。
いうまでもなく、これらは「乾いた空気」よりも、はるかに大きい密度を持ちます。（嵩密度）
補足
計算では、50%水蒸気なら尚のこと、乾いた空気の方が重いことになりますね。1.045kg/m3ですか。 夏場は、湿度50％はザラですよね。 体感のじめっとした感じからは想像できませんね。 まだ疑問符状態です・・・