忘れ得ぬ問題

質問

２０年以上前のことで申し訳ないのですが、予備校の数学の授業でこんな問題がありました。

直径１０センチの円柱が２本あります。（鉄パイプを想像してください）
これを垂直に交差（一方を他方に突っ込んで）させた時に共有する部分の体積を求めよ。

言葉にすれば簡単ですが、「共有しあう部分」がどんな形になるか中々想像しにくい問題でした。
国立文系のクラスでしたので、そこまで難易度は高くない問題だと思いますが私には難解そのものの問題でした。

お手数ですが、解りやすく回答していただければ幸いです。
毎年１２月になると、この問題を思い出し、２０年余に渡り、答えを知りたいと思っています。

回答No.3

funifuni11 · ベストアンサー

懐かしいですね。
自分も高校時代に勉強のさなかに出てきて、
解答を見ないで解こう！とがんばった覚えがあります。

積分についてはご存知という前提で話を進めます。
半径をaとします(数値だと話の流れが分かりにくいと思うので)
2本の円柱の中心線を通るような平面を考えます。
この平面で、求める立体を切断してみます。

一本の円柱はこの平面で切断することによって
2本の平行線になりますよね。
二本の円柱が垂直に交わっていますので、
断面は、　＃　←こんな状態になるわけです。

つまり、求める立体の断面は、正方形になります。
この正方形の一辺は、円柱の直径に等しいです。

さて、こんどは切断する平面をxだけ平行移動してみましょう。
すると、断面はどうなるでしょうか？
やはり、正方形ですね。
その一辺は、2√(a^2-x^2)になります。

(これは、半径aの中心からxだけ離れた直線が
円によって切り取られる弦の長さを求める感じです)

よって、この正方形の面積は、
4(a^2-x^2)
ですので、共有部分の立体の体積は、
これを-a～aまでxについて積分すれば求められます。
計算してみると、
16/3 a^3
になります。
直径10センチの円柱の場合は、
半径5センチですから、666.666…cm^3
になります。

お礼

どうもありがとうございました。
確かに、切断面を積分して解くところまでは当時気付いてました。
ただ、どんな形になるかが全くわかりませんでした。
予備校の先生も知り合いのイラストレーターに書いてもらったものを見ながら黒板に解説図を描いてたのを記憶してます。
幸い私は志望校（国立文系）に入り、普通の勤め人として、この問題を応用する事無く生活してますが、funifuniさんは理数系の道を歩まれたのでしょうか？
同じ問題と格闘した人間として、その後の人生がむしろ気になったりします。
重ねて御礼まで。

回答No.2

redowl

20年以上の疑問は
http://www.biwako.ne.jp/~hidekazu/materials/cylinder.htm
でしょう？

円柱　直交　体積　で検索。すぐ見つかります

お礼

ありがとうございます。
まさしく欲しかった図解です。
朝早くからお手数かけました。

回答No.1

g_destiny

単純に半径５センチの　球じゃないの？

お礼

朝早くからの回答ありがとうございます。
私もそう思ったのですが・・・
図示自体困難な問題ですよね。