「インフィールドフライ」も「インフィールドフライ・イフ・フェア」も、守備側の故意で、攻撃側が不利になる事を防ぐためのルールです。どちらも、走者のホースアウトが無くなりますので、走者は元の塁に戻ればアウトになりません。
「インフィールドフライ」と「インフィールドフライ・イフ・フェア」の違い
「インフィールドフライ」
審判が「インフィールドフライ」を宣言した段階で、打者はアウトになります。走者は、通常のフライと同じで、一度、帰塁しなければなりませんが、インプレイ中のインフィールドですから、捕球しても落球しても、その後進塁する事は可能です。
「インフィールドフライ・イフ・フェア」
審判が「インフィールドフライ・イフ・フェア」を宣告した段階では、打者はアウトではありません。コールの通りで、ボールが落ちた所がインフィールドなら「インフィールドフライ」にすると言う意味で、インフィールドであれば「インフィールドフライ」と同じです。インフィールドでなくても、守備側が捕球すれば同じ事になりますが、落球した場合は通常のファールと同じで、打者も走者もアウトにならず、走者の進塁は認められません。（この場合は、守備側に徳はありませんので、故意に落球する事はありません。）
つまり、審判がどちらを宣言しても、走者は帰塁、守備は捕球すれば、双方とも損をしないと言う事です。しかし、草野球や少年野球の場合は、審判のミスも多いものです。審判が「インフィールドフライ」を宣告しなかったり、ファールフライなのに「インフィールドフライ」を宣言してしまったりする事があります。
ご質問の場面では、インフィールドフライが宣告されていますので、打者はアウトですが、「ルールと違う判定」に該当しますので、監督には抗議する権利があります。
たとえ間違っていても、審判には判定する権限があり、その判定を尊重する前提で試合は行われますので、最終的には審判の判定に従うしかありません。
ついでに
小フライでは、審判が宣言する時間が有りません。審判が何も宣言しなかった場合は「故意落球」と言うルールがあります。（ライナー以外のインフィールドのフライ全てに適用されます）英語のルールを日本語にしたもので、守備側に故意が有ったかどうかは関係なく、打球が地面にワンバウンドする前に、守備の選手が触れたかどうかだけで判断されます。
捕球した場合は、フライやライナーと同じです。
打球が地面にワンバウンドする前に、触れていなければ、ゴロと同じでゲッツーを狙う事が出来ます。
打球が地面にワンバウンドする前に、触れてから落とせば（わざとでも、落球でも）、審判の宣言により「故意落球」が適応され、打者はアウトでランナーの進塁は認められませんが、アウトにもなりませんが、審判が「故意落球」を宣言しなければ通常プレイです。（監督が抗議する事は出来ます。）
守備の場合は、ノーバウンドで捕球するふりをしてゲッツーを狙える場面ですが、攻撃側の１塁走者は判断が難しい場面です。
