選択公理は循環論法的ではないですか？

質問

集合論における選択公理は，現行の表現のままでは，
循環論法的主張になってしまっているのではないでしょうか？

つまり，それぞれの集合族について選択関数が選べると言っても，
選択関数は沢山あるから，１つ１つの集合族についてどの選択関数を選んだらよいか，
選択しなければいけないのではなでしょうか？
すると，選択関数を選択するのに，
また選択公理を使って選択しなけばいけないが，
それを選択するのにまた選択公理を使って・・・？？！
これでは，いつまで経っても選べない！

だから，選択公理は，
すべての集合から成る領域において定義された選択関数の存在
を主張しないといけないのではなでしょうか？

従って，公理の表現を次のように改めないといけないと思うのですが・・・
∃ｆ：Ｖ－{φ} → Ｖ ，∀ａ∈Ｖ ，∀ｘ∈ａ ，ｘ≠φ ⇒ ｆ(ｘ)∈ｘ
（ｆ：選択関数，Ｖ：すべての集合（族）からなる領域，φ：空集合，ａ：集合族，ｘ：集合）

「強い選択公理」とか「弱い選択公理？」とかもあるようですが、
上記の点はどうなのでしょうか？

回答No.12

rinkun · ベストアンサー

No.11への返答に関しては、前者の解釈でよろしいです。

一般論として有限の対象に関しては網羅的記述ができますが、無限の対象についてはできません。
選択関数についても有限対象なら対応関係を網羅的に定義してやることで構成できますが、無限対象では不可能なので他の方法が必要になります。それが選択公理というわけです。

お礼

毎回誠実にご対応をしていただき、感謝いたします。
ご回答の件、了解いたしました。

集合論関係の質問は、なかなか多くのご回答をいただけない状況かと思われますが、
繰り返し丁寧にご回答をいただき、大変勉強になりました。
また質問を掲載させていただくこともあるかと思いますが、
そのときは、お時間があればまたよろしくお願いいたします。

ご回答、大変ありがとうございました。

回答No.1

rinkun

あなたが循環論法的と考えている選択公理を形式記述してみてください。ついでに他の集合論の公理も。
選択公理を正しく理解して記述すれば全く循環論法的とは思わないはずです。

ちなみに質問の最後に記述してある形式記述はfが集合にならないので集合論的に無理があります。

お礼

早速にご回答をありがとうございました。
私は集合論の専門家ではありませんので、不適当な記述や表現についてはどうぞご指摘ください。

他の「外延性の公理」や「正則性の公理」などは今書き出しませんが、
私が知っている（１番弱い？）選択公理を「集合論の記号？」で書くと、
∀ａ∈Ｖ ，∀ｘ∈ａ ，ｘ≠φ ⇒ ∃ｆ：｛ｘ｝→ ｘ，ｆ(ｘ)∈ｘ
（Ｖ：すべての集合（族）からなる領域（クラス），ａ：集合族，ｘ：集合，φ：空集合，ｆ：選択関数）
ですが、どうなのでしょうか・・・？

なお、
「質問の最後に記述してある形式記述では、選択関数ｆが集合にならないので・・・」
とありますが、「これでは無理がある」ということであれば、
「選択関数ｆ」の代わりに「直積の部分集合ｆ」
としても構いませんが・・・

どうでしょうか？