展開・整理の仕方

質問

数学的帰納法の一部なのですが、次の式の展開・整理の仕方が分かりません。

{1/2k(k+1)}^2+(k+1)^3={1/2(k+1)(k+2)}^2

この途中が分かりません。
とりあえず展開していったのですが、めちゃくちゃになってしまいました。
途中式を省いた解答は載っていたのですが、理解できませんでした。

どれだけ遠回りでくどくても構いませんので、できるだけ細かく詳しく
教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願い致します。

回答No.2

debut · ベストアンサー

左辺の前半部分を(1/2k)^2×(k+1)^2とし、後半部分を(k+1)(k+1)^2とすると、(k+1)^2が共通因数になって
　左辺=(k+1)^2{(1/2k)^2+(k+1)}
　　　=(k+1)^2(1/4k^2+k+1)
　　　=(k+1)^2{1/4(k^2+4k+4)}
　　　=1/4(k+1)^2(k+2)^2
　　　={1/2(k+1)(k+2)}^2

このように、数列関係で出てくる長い式は、共通因数がないかどうかをみて因数分解で解く方が楽です。

回答No.1

omoidasu

>とりあえず展開していったのですが
いやいや、とりあえず展開しちゃ、いかんよ。
共通項(k+1)^2があるだろ。

{1/2k(k+1)}^2+(k+1)^3=(k+1)^2×1/4(k^2+4k+4)
={1/2(k+1)(k+2)}^2