数学II 三角形と内心の座標の別解

質問

センター問題です。
問題は、
●三角形ABCの内心Iの座標を求めよ。
●三角形ABCの内接円の半径を求めよ。
なのですが、Iの座標を(i,i)として、【 IP 】と【 IQ(IR) 】の距離が（内接円の半径として）等しいという考えから、点と直線の距離の公式を用いて解答しました。

私がお聞きしたいのは、この問題において別解が無いか。ということなのです。
殆どの問題は、問題内容の範囲に基づいた解法の他に別解が考えられるのですが、この問題は思い浮かびませんでした。

もし、上記の問題を、『点と直線の距離』を使わずに解答できるようでしたらご教示お願いいたします。
アドバイスでもありましたらよろしくお願いします。

回答No.1

bacet14 · ベストアンサー

まずセンター試験の問題ということですが、これは結構問題に特有の解き方をすることで速い解答を得られるようになっているはずです。つまり一般性の少ない方法があるのでしょう。もしそのような特殊解放がご希望でしたら多分書かれている条件はまだ不足しているものと思います。

そこで文面から勝手に設定を作り出しました。根拠は座標を(i,i)としていることです。
・三角形は直角三角形
・直角を原点におき、その両隣の二辺をx軸とy軸においている
上記の設定が正しければ、
1.半径から求めます。三角形の面積＝三辺の長さの和×内接円の半径÷２で求まります。
2.中心の座標はx,yともに内接円の半径です。

…その問題が掲載されている赤本なり青本なりの解説を見るのも1つの手段かと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
三角形が直角三角形と考えられる根拠は何でしょうか。

回答No.2

tarame

ANo.1の方が書かれているように
△ＡＢＣは、２辺が座標軸上にある直角三角形であると推測されます。
したがって、提示された解法がベストかと思われます。

別解として、こんな方法も考えられますが……。

内心は、頂角の二等分線の交点なので
「角の二等分線は、対辺を隣り合う２辺の比に内分する」
という性質を使います。

∠Ａの二等分線とＢＣとの交点は、ＢＣをＡＢ：ＡＣに内分する。
（この点をＤとおく）
∠Ｂの二等分線とＡＤとの交点は、ＡＤをＢＡ：ＢＤに内分する。
　この点が、内心Ｉとなります。

お礼

作図は容易ですが、計算上、座標はどのように求められるのでしょうか。

スレに不手際があってすみません…。