測量学で重みつきの最確値の証明がわかりません！

質問

屋根あさってが試験で非常にいそいでおります・・。

測量学で、等精度の場合の最確値の証明はできるのですが、重みつきの場合で、一つわからない点があります。それは
最小二乗法で証明をするのですが、

　S=（L1-x)^2＋（L2-x)^2・・・・・＝最小　が等精度の場合ですよね？

これに異精度の場合となると教科書には

　S=P１（L1-x)^2＋P２（L2-x)^2・・・・・＝最小

と残差の前に重みをかけることを自然にやっています。しかしこの証明がず～と考えているのですがなかなかできません　この部分において証明できるかたお願いします。

回答No.1

jing · ベストアンサー

答えになっていないと思うのですが・・。

異精度の場合、重みがつくことはわかっていると思います。
例えば、Ｌ１＝４kmでＬ２＝１kmだとすると、重みはＬ１が４でＬ２は１になりますよね？
（別に１と0.25でもかまいません。重量は比ですから）

等精度の場合、重みは全て１のはずです。（Ｐ１＝Ｐ２＝・・・・＝１）
これを、数式で書くと１を掛けても答えはかわらないので、１は表記されません。
異精度の場合、重みは１でないこともありますね。（Ｐ１≠Ｐ２≠・・・）
ですから、等精度の場合でも、Ｐ１やＰ２（＝１）がかかっていると考えれば、異精度の時も、残差の前に重みをかけることは自然なことだと思うのですが。
それが、１であるかないかの違いで、表面に出てきたりでてこなかったりするのだと思います。

答えになってますでしょうか？

回答No.2

albertpark

S(x)が二次式ですから、S が最小のとき、Sをxで微分したものは
dS/dx = 0
になるはずです。

問題の式では、

dS/dx = 2 P1 (L1-x) + 2 P2 (L2-x) = 0

これを解くと

x = (P1 L1 + P2 L2)/(P1 + P2)

これは L1 と L2 の P1:P2 の内分点ですから、L1にP1、L2にP2の重みをかけてxを求めていることになります。

３点以上の場合も、

x = (P1 L1 + P2 L2 + ...)/(P1 + P2 + ...)

となるだけで、同じことです。