2回の硬貨投げの確率空間(Ω,B_2,P_2)に於いてX_2(2回目の結果)が可測になる事を示せ
宜しくお願い致します。
可測の定義は「BをΩ上のσ集合体とする。∀r∈R,{x∈Ω;f(x)>r}∈Bならばf:Ω→R∪{±∞}は可測であるという」です。
[問ア]2回の硬貨投げの確率空間(Ω,B_2,P_2)に於いてX_2(2回目の結果)が可測になる事を示せ。
[解]
Ω={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)},B_2=2^Ωと採れるから
(i) r<0の時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=Ω∈B_2
(ii) 0≦r<1の時
{w∈Ω;X_2(w)>r}={(0,1),(1,1)}∈B_2
(iii) 1≦rの時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=φ∈B_2
以上からX_2は可測。
[問イ]1回の硬貨投げの確率空間(Ω,B_1,P_1)に於いてX_2(2回目の結果)が可測でない事を示せ。
[解]
Ω={0,1},B_1=2^Ωと採れるから
(i) r<0の時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=φ(∵X_2(w)は定義されてない) ∈B_2 (∵σ集合体の定義)
同様に
(ii) 0≦r<1の時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=φ∈B_2
(iii) 1≦rの時
{w∈Ω;X_2(w)>r}=φ∈B_2
以上からX_2は可測。
となってしまい,(イ)は可測となっていまいました。
『[アの正解]
{w∈Ω;X_2(w)>r}=
φ (r≧1)
{w∈Ω;X_2(w)=1} (0≦r<1)
Ω (r<0)
であることと
{w∈Ω;X_2(w)=i_2}={w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}∪{w∈Ω;X_1(w)=0,X_2(w)=i_2}である事から(ア)は従う。
(イ)は{w∈Ω;X_2(w)=1}がB_1に属さない事から明らかである』
と解説されているのですが意味が分かりません。私の証明の何処が間違っているのでしょうか?
お礼
非常にわかりやす（すぎる？ｗ）有難うございました。 返信が早かったのでとても助かりましたｗ