桁落ちの誤差について

質問

#include <stdio.h>
const double PI=3.141592653589793;
double sum(long m)
{
double n,term,sum;
n=1; sum=0;
term= 1.0/ (n*n);/*初項*/
while( n<=m ){
sum+=term;
n++;
term= 1.0/ (n*n);/*次項の計算*/
}
return sum;
}

/*この計算の答えはπ*/
int main(void)
{
double s;
long m;
int i;
m=1;
for(i=0;i<9;i++){
s=sum(m);
printf("%2d m=%10ld sum= %22.16e err= %22.16e \n",i,m,s,s-PI*PI/6);
m*=10;/*次は10倍にする*/
}
return 0;

のプログラムで誤差が生じる理由ってなんなんでしょうか？

回答No.2

tatsu99 · ベストアンサー

>このプログラムのどこが原因で誤差が生じたんでしょうか？
double型を使用している箇所すべてです。
強いていえば、sum+=termの場所です。
すべての変数及び関数の戻り値をlong型にすれば、誤差は発生しません。

補足

わかりました、ありがとうございました
悩んでたのが解けました

回答No.3

ymmasayan

提示されたプログラムには多種の誤差が存在しています。

>　const double PI=3.141592653589793;
ここでは小数点以下１５桁で打ち切っているので「丸め誤差」が発生しています。・・（１）
計算機の内部で２進数に直した際にさらに「丸め誤差」が発生します。・・・・・・・（２）

>　while( n<=m ){
計算を有限回で打ち切ったので、「打切り誤差」が出ます。・・・・・・・・・・・・（３）

>　sum+=term;
ここでは非常に大きな数に非常に小さい数を足す場合、
「情報落ち」が発生します。・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）

>　term= 1.0/ (n*n);/*次項の計算*/
ここでも「丸め誤差」が発生します。・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（５）

>　printf("%2d m=%10ld sum= %22.16e err= %22.16e n",i,m,s,s-PI*PI/6);
引き算の部分は非常に近い数同士になりますので「桁落ち」が発生します。・・・・・（６）

それぞれの誤差の意味はご自分で確認して下さい。

>>このプログラムのどこが原因で誤差が生じたんでしょうか？
>double型を使用している箇所すべてです。
>強いていえば、sum+=termの場所です。
>すべての変数及び関数の戻り値をlong型にすれば、誤差は発生しません。

蛇足ですが、単にlong型というとlong int型のことですので、
long double型にしてください。
ただしコンパイラーによってはlong double型にしても全く変わらないものもあります。
long double型が有効な場合、誤差自体は無視できるほど小さくなりますが、
原理的には必ず少しは残ります。
特に、（１）（３）の誤差はlong double型にしても変わりません。
あえて言えば、例題自体が打切り誤差の変化を見る問題なので（３）は無視していいです。
またPIの定数定義の小数点以下の桁数を増やせば（１）も無視していい程度になります。

回答No.1

tatsu99

データでdouble型のデータを使用しているためです。
double型を使用した場合は、必ず誤差が発生します。
これを回避する方法は残念ながらありません。

補足

このプログラムのどこが原因で誤差が生じたんでしょうか？