三角形の合同と相似条件の表現の違い

質問

三角形の合同条件のひとつ、「三辺がそれぞれ等しい」に対し相似条件では「三組の辺の比がそれぞれ等しい」という表現がほとんどの書籍においてなされてます。合同ではなぜ「三組の辺」になっていないのでしょうか？

回答No.4

nozomi500

（＃２さんの例を使わせていただけば）
「３辺の比」は「3：4：5」です。

「３組の辺の比」は、「3：6」「4：8」「5：10」という３組。

まあ、どっちでも相似に違いはないんだけど。

回答No.3

kotsuauzodehi

「合同ではなぜ『三組の辺』になっていないのでしょうか？」ということですが…。

論理的には二つの三角形が合同である場合に「三組の辺」という表現を用いることはもちろん間違いではないし、合同であることを証明する場合の二つの三角形は同一のものではないので「三組の辺」とする方が合理的に思えます。

考えてみると、合同条件において「三辺がそれぞれ等しい」という時の「三辺」とは、正確には二つの三角形の六辺のことを指しています。

これはどういうことかというと、人間は「誤認しない範囲で、より簡潔な表現を採用する」という認知的作用が影響しているわけです。

「三組の辺」
「三辺」

上記の二つの語句だけの差異の問題ではなく、

「三辺がそれぞれ等しい」
「三組の辺の比がそれぞれ等しい」

という一文全体の文脈の中で個々の単語の意味が決定するということであり、その中でより簡潔な表現が用いられていると考えるべきなのではないかと思います。

補足

さっそくありがとうございました。簡潔な表現であれば相似条件も「三辺の比」で充分ではないでしょうか？

回答No.2

hika_chan_

たとえば三角形ABCと三角形XYZ（どちらも上の頂点から時計回りに配置）
があるとします。

三角形ABCの辺の長さ
辺AB＝3
辺BC＝4
辺CA＝5
ちなみに
角ABC＝90度

三角形XYZの辺の長さ
辺XY＝6
辺YZ＝8
辺ZX＝10
ちなみに
角XYZ＝90度

この二つの三角形を書いてみてください。三角形ABCを拡大したのが三角形XYZですよね(つまり相似)

で、この二つの辺の長さを見てください。長さが違いますよね？だけど相似ですよね。
だから、三組の辺ではダメなんです。

で、両方の三角形の辺の長さを比で表すと
三角形ABC
AB:BC:CA＝3:4:5

三角形XYZ
XY:YZ:ZX＝6:8:10＝3:4:5(2で割ると)

こうすると三組の辺の長さの比が同じ。ってなりますよね。だから、『比』という言葉を入れないとダメなんです。

ちなみに、三組の辺は
辺ABと辺XY
辺BCと辺YZ
辺CAと辺ZX
のことです。

補足

さっそくのご返事、ありがとうございます。質問の真意は「相似の場合は組という言葉があるのに合同の場合にはなぜその言葉がないか？」ということなんです。

回答No.1

ichibanbosi

相似の場合、三角形ABCと三角形abcがあった場合、
　辺 AB とab (1組目）
BC とbc（2組目）
CA とca（3組目）
の三組の辺の比が等しくなければならないからです。

合同の場合は
　辺 AB BC CA の三辺が
　辺 ab bc ca とそれぞれ等しくなければならないからです。

補足

さっそくのご返事、ありがとうございます。質問の真意は「相似の場合は組という言葉があるのに合同の場合にはその言葉がないか？」ということなんです。