複素数の問題

質問

z*をzの共役複素数として
(z-1)(z*-1)>2(z+1)(z*+1)が|z+3|<√8になるそうですが，どうしてか教えてください.
お願いします．

回答No.4

pyon1956 · ベストアンサー

＞この2点を結ぶ線分というのは(1,0)と(-1,0)の点を結ぶ線でしょうか？
そうです。外分点(-3+2√２,0)と内分点(-3-2√２,0)の距離は4√２、つまり√８の２倍で、内分点と外分点の中点が（-3,0)になります。（（３,0)は（-3,0)の間違いでしたね。失礼）
｜z-a｜＜bはaからの距離がbより小さい、ということですから、中心a, 半径bの円ですね。
なお、以上は旧課程の数学２と数学Bのあわせ技です。
新課程では複素数平面が出てこないのでこれでは解けません。

お礼

ようやくわかりました.ありがとうございました.
とても参考になります．

回答No.3

pyon1956

No.1の解答だと最後のところで破綻します。複素数に大小関係は
ありませんから、不等式で表現できないのです。
複素数平面を使えば、|z-1|>√2|z+1|
は、(1,0)からの距離が(-1,0)からの距離の√２倍より大きい、と読めます。
＞を＝にしたときがアポロニウスの円で、この２点を結ぶ線分を
1:√2に外分する点と内分する点を直径の両端とする円になります。
すると半径√８、中心(3,0)の円となり、条件からその外部が求める
領域となります。その後複素数平面で表現すればいいのです。

お礼

この2点を結ぶ線分というのは(1,0)と(-1,0)の点を結ぶ線でしょうか？どうして√８やら（3,0）が出てくるのでしょう？

回答No.2

dedenden

あまりエレガントではありませんが、、、

(z-1)(z*-1)>2(z+1)(z*+1)の左辺を右辺に移項して、
展開すると以下の式が得られます。

zz*+3z+3z*+1<0

両辺に8を足すと以下が得られます。

zz*+3z+3z*+9<8

左辺を因数分解すると、

左辺=(z+3)(z*+3)=|z+3|^2

になります。（^2は2乗を意味します。z+3 と z*+3が共役複素数になることに注意）
したがって、

|z+3|^2<8

となり、両辺の平方根をとると、回答が得られます。
（符号に注意！）

ちなみに、z は複素数なので、実数になる場合以外
では式の大小比較はできません。

お礼

直感的な理解が苦手な私にとったらこの回答が一番理解できます．ありがとうございました.

回答No.1

physicsache

(z-1)(z*-1)=|z-1|^2
(z+1)(z*+1)=|z+1|^2

ですよね。

二乗を外すとどっちも絶対値なので

|z-1|>2|z+1|

となりますね。

あとは分かるでしょ？
a<z<b か z<a,b<z
という形にすれば、なぜか分かりますよ(^-^)/

お礼

ありがとうございます.
でも最後の展開がわかりません.
a<z<bのa,bは何でしょうか？