x^2の項が入った対数方程式で困っています。

質問

仕事で以下に挙げた数学的問題に出くわし、
四苦八苦しています。
何卒解法をご教示いただけないでしょうか？
どうか宜しくお願いいたします。

【問題】

「A*x^2+ln(C*x+D/B*x+D)=0をxについて解け。
ただし、x>0、A>0、B>C>0、D>0とする」

です。いろいろ試してみましたが
x^2の項が入っているせいでどうしても
うまくいかないのです。
なお、lnは自然対数です。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に
非線形方程式なので近似でしか解けません。
A*x^2+ln(C*x+D/B*x+D)=0
ln(C*x+D/B*x+D)=-A*x^2
(C*x+D/B*x+D)=e^-A*x^2
2次方程式の近似であれば、e^-A*x^2=1-A*x^2 として、(C*x+D/B*x+D)=1-A*x^2　を解けばよい。

補足

早速の親切なご回答本当にありがとうございました。参考にさせていただきます。できましたら、この問題に関して参考となるような書籍等ございましたらご教示いただけないでしょうか？実は論文(有機物の化学反応に関するものですが)に、「近似的に」と但し書きをつけてでも記載したい数式なのです。お手数だとは存じますが、何卒宜しくお願いいたします。

回答No.6

yaksa

根拠もなにも、たんなるテイラー展開ですが。

ln(C/B)+ln(1+(BD-CD)/(C(Bx+D)))
で、
(BD-CD)/(C(Bx+D)) < 1
が成り立つことは、すぐに確かめられますね。

x≒√(ln(B/C))/A
について言えば、DがBに比べて極大きくないという条件が必要なんで、それに言及する必要はあります。
専門家向けの論文に書く場合であれば、
「D～Bなので、x≒√(ln(B/C))/A と近似できる」
で十分だと思いますが。

お礼

本当にいろいろとありがとうございました。アドバイスを基に検討したいと思います。

回答No.5

yaksa

間違えました。（分かるとは思いますが）
x≒ln(B/C)/A
ではなくて、
x≒√(ln(B/C))/A
ですね。

補足

度重なる親切なご回答本当にありがとうございます。一度この式を使って試してみたいと思います。お手数ですが、本問題のこの解法が記載されている書籍・文献(数学の教科書になるのでしょうか？)等ありましたら教えていただけないでしょうか？(現在まとめている論文に、この式を記載したときの根拠にしたいのです)宜しくお願いします。

回答No.4

yaksa

＞ただし、xの値の範囲が決まっており、75～1500と0に近い値ではないのですが、このような近似法は成立するのでしょうか?
なるほど。それなら、
ln((C*x+D)/(B*x+D)) = ln(C/B)+ln(1+(BD-CD)/(C(Bx+D)))
と変形して、
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5-...
を使ってください。
というか、xがそんなに大きいなら、第２項は０としてもいいかもしれません（0次近似）。
そうすれば、元の方程式の解は、
x≒ln(B/C)/A
ですね。当然、パラメータA,B,Cは、これが75≦x≦1500になるような、範囲になければなりません。

回答No.3

yaksa

数学の部屋にもレスがついてますが、
A*x^2+ln(C*x+(D/B)*x+D)=0
ということですか？
この場合は、当然ながらD<1じゃないと解を持ちませんね。
なぜ、CとD/Bが分かれているのかは疑問です。

それとも、B>C>0などの条件を考えると、
A*x^2+ln((C*x+D)/(B*x+D))=0
ということですかね？それだと、x>0に1個、解を持ちそうですね。

近似でよいということなら、＃１さんのとおり、ニュートン法でも使ってください。x=0に明らかな解があるので初期値の選択が難しいですが。

補足

親切なご回答本当に有難うございました。私の質問は

A*x^2+ln((C*x+D)/(B*x+D))=0

です。紛らわしい表記で申し訳ありませんでした。ただし、xの値の範囲が決まっており、75～1500と0に近い値ではないのですが、このような近似法は成立するのでしょうか?

回答No.2

mmky

追伸
e^-x=1-x+x~2/2-x^6/6+・・・
ですので１次の近似で２次方程式になるということです。２次の近似だと４次方程式になり到底解けませんね。非線型方程式の解法は、数値解析が一般的でしょう。非線型方程式で検索すれば、たくさん見つかります。例えば、非線形方程式の解法:ニュートン・ラフソン法についてが以下のＵＲＬにあります。
http://maya.phys.kyushuu.ac.jp/~knomura/education/numerical/text9/node1.html

補足

追伸ありがとうございました。私もアドバイスを基に勉強したいと思います。もうひとつ質問させてもらいたいのですが、(別にアドバイスいただいたyaksaさんにも同じことを伺っていますが)、xの値の範囲が75～1500に決まっているのですが、xの値がこのように大きい場合でも、ご教示いただいた近似式が成立するのでしょうか？アドバイスいただけないでしょうか?