至急！数A余自称の考え方

質問

わかる方、回答お願いいたします。「大中小3個のサイコロを投げるとき、目の積が4の倍数になる場合は何通りあるか。」という問題に困っています！余自称の総数を全体から引くと答えが求められるのはわかったのですが、余自称自体をどのように考えてばいいのか、わかりません。とりあえず、4の倍数になる場合は
1) 少なくとも1つのサイコロで4が出る。
2)少なくとも2つのサイコロで(4以外の)偶数が出る
というには分かったのですが、これの余自称が
1)全て奇数が出る
2)1つで偶数が出て、２つで奇数が出る
になる理由がわかりません！この問題に限らず、余自称はどう考えたら出るのでしょうか？

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

先程の回答の後半部分
ベン図をもちいない簡易的な考え方についてまとめました

題意に合った積は
4、8、12、16…
ということは、余事象となる積は
1、2、3、
5、6、7
9、10、11
・
・
・
余事象となる積をみると奇数が含まれてますから、そうなるためには
全て奇数の目となる必要がある…①
奇数を除くと残りは
2
6
10
・
・
・
これらは因数に2をひとつだけ持ってますから
そのようになるには、三つのサイコロのうちひとつの目だけが2の因数を持っているれば良い
すなわち、模範解答に書かれてる
1つ(4以外の)偶数が出て、２つ奇数が出る…②

残った積はないから余事象は①または②で出尽くした
このようにして、この問題及び類似問題の余事象を考えるのアリです

お礼

すごくわかりやすかったので、ベストアンサーにさせていただきました。本当にありがとうございました。

回答No.4

petertalk

＞1) 少なくとも1つのサイコロで4が出る。
＞2)少なくとも2つのサイコロで(4以外の)偶数が出る
＞というには分かったのですが、これの余事象が
＞1)全て奇数が出る
＞2)1つで偶数が出て、２つで奇数が出る
＞になる理由がわかりません！

間違ってますよ。余事象の2)の偶数は4以外の偶数です。

それに、そもそも、余事象が元の事象の論理否定になっていないのだから、
わからなくても当然です。

一旦リセットしてから、順を追って書きますね。

・余事象の定義：

ある事象の余事象とは、全事象からある事象を除いた全ての事象です。
だからご質問にあるように、全事象から余事象をひけば、元の事象になります。

この問題では、求められる事象は「3つの目の積が4の倍数」だから
その余事象は「3つの目の積が4の倍数以外」です。

・余事象の成立条件：

定義は今更だと思いますが、この問題のように条件が複数の場合は、
余事象の条件の作り方は２つあります。

①元の事象の条件を論理否定する。

1) 少なくとも1つのサイコロで4が出る。
2)少なくとも2つのサイコロで(4以外の)偶数が出る

元の事象の条件はこれですが、実はこれだけでは記述不足です。
積が4の倍数になるためには、1)と2)は、どちらか成り立てばいい関係なので、

1) 少なくとも1つのサイコロで4が出る。
または
2)少なくとも2つのサイコロで(4以外の)偶数が出る

と明示する必要があります。

余事象はこの論理否定なので、1)でない、かつ、2)でない、となります。

1)でない条件は、4が1つも出ない
2)でない条件は、1つ以下のサイコロで(4以外の)偶数が出る

なので、これを「かつ」で結べばいいのですが、
2)が成り立てば1)も自動的に成り立つので、

2)1つ以下のサイコロで(4以外の)偶数が出る

が余事象の条件になります。

②余事象の条件を直接考える

もちろん余事象が成立する条件を直接考えてもいいです。

積が4の倍数にならないためには、4以外の偶数が最大1つ

これが思いつくなら、元の事象の条件を考える必要はないです。

・余事象の条件を計算する

余事象の条件は①でも②でも同じで、「4以外の偶数が最大1つ」です。

質問文中で余事象の条件として2つに分けたのは計算のためです。

1)全て奇数：3x3x3=27通り

2)1つが4以外の偶数、２つが奇数：3x2x3x3=54通り

この合計で 27+54=81通りとなります。

質問文中の解説では、成立条件と計算のための場合分けを混同しているから
わかりにくかったのだろうと思います。

なお、参考までに、積が4の倍数になる条件は、

1)偶数が2つ以上
または
2)4が1つと奇数が2つ

とすると、1)と2)は排反で単純に合計できるので、
余事象を使わなくても簡単に計算できます。

お礼

分かりやすい説明、ありがとうございます。理解できました！

回答No.3

f272

4の倍数になる場合は
1) 少なくとも1つのサイコロで4が出る。
または2)少なくとも2つのサイコロで(4以外の)偶数が出る
ということは分かったのですね。余事象はそれを否定すればよい。
( 1)または2) )の否定は、( 1)の否定) かつ( 2)の否定) です。

1)の否定は、(A) どのサイコロでも4が出ない。
2)の否定は、(B) (4以外の)偶数が出るサイコロは1つだけか1つもない。
になります。(A)かつ(B)を分解すれば
(A)かつ(B1) (4以外の)偶数が出るサイコロは1つだけ。
または(A)かつ(B2) (4以外の)偶数が出るサイコロは1つもない。
になりますが、
(A)かつ(B1) は (C) (4以外の)偶数が出るサイコロは1つで残りは奇数
と言い換えることができます。
(A)かつ(B2) は (D) 全て奇数が出る
と言い換えることができます。
結局(C)または(D)になりました。

お礼

とても丁寧に説明してくださり、ありがとうございます。

回答No.1

maskoto

この問題に限らず
余事象を考えるのに役立つ方法のひとつは
ベン図を書くことです

今回の問題では
題意を満たす出目が
4が三つ…集合Aと命名
4が2つと4以外…集合B
4がひとつと4以外が２個…集合C
4以外の偶数を単に偶数と呼ぶ事にすると
偶数が三つ…集合D
偶数が2つと偶数以外…集合Ｅ
であり
集合Aの要素は(大4-中4-小4)の１個だけ
集合Bの要素は
(4-4-1)や(4-4-2)など
…
となっています
これをベン図として表すと、
CとＥは重なる部分があるが、それ以外は重なる部分が全くない
そんな図がかけるわけです
ベン図において、A〜Ｅに該当しない部分が余事象という事になり
それは、偶数が１個だけの集合
偶数が１個も入らない集合
4が１個も入らない集合
というのがわかります
これらはつまり奇数だけの集合
または、偶数が１個だけの集合
というわけです(再掲、今偶数とは2、6の事を指していることに注意！)
このようにして、余事象がつかめます

ただし、この問題では上記のベン図の扱いかたは難しいかもしれません
そういう人の場合なら、もう少し簡単に次のように考えるのもありです
題意を満たす出目の積＝4М＝2×2×М
＝2×6×n
＝6×6×K(K、М、nは自然数)
なんだから
偶数の個数に着目
裏を返せば奇数の個数に着目だなと検討がつく
奇数が三つならどうかな→余事象になってる
奇数が2つならどうかな→残りひとつがに、6なら余事象となるが、残りひとつが4だと余事象にならない
奇数がひとつだと→余事象にならない
奇数0→NG
…と言う事は、余事象は模範解答の通りになるな
とこのように判断ができるわけです