(1/2)^x ・(1/2)^(3-x) の意味

質問

統計学入門の
https://parco1021.hatenablog.com/entry/2020/05/18/210000
の7.3を解こうとしていて、頭がこんがらがってきました。

紙片の最初の式
P(X=x)
= 3Cx・(1/2)^x ・(1/2)^(3-x)
= (1/8)・3Cx
=g(x)
…の
「(1/2)^x」と「 (1/2)^(3-x)」の意味を教えて下さい。

(1/2)^x ・(1/2)^(3-x)
は、xが0～3の値をとる限り、
どれも一定で1/8になりますよね・・・。

3個のボールそれぞれを(1)(2)(3)で表しますと、
3Cxの組み合わせの意味は以下のように理解しています：

x=0の場合は1通り
A: (空っぽ)
B: (1)(2)(3)

x=1の場合は3通り
A: (1)
B: (2)(3)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
A: (2)
B: (1)(3)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
A: (3)
B: (1)(2)

x=2の場合は3通り
A: (1)(2)
B: (3)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
A: (1)(3)
B: (2)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
A: (2)(3)
B: (1)

x=3の場合は1通り
A: (1)(2)(3)
B: (空っぽ)

・・・ですよね。
全部で8通りあるので、各x通りを8で割るのは理解できます。
でも、その1/8を出すのに、(1/2)^x ・(1/2)^(3-x)の計算は必要ですか？

あ、もしかして
「(1/2)^x」は成功の確率で
「 (1/2)^(3-x)」は失敗の確率ですか？
でも、掛け合わせると何になるんですか？

※ ちなみに、ボールはつぼA, Bのどちらかには入る前提らしく、どちらにも入らないケースは考えないようです（問題の文脈だと曖昧ですよね…）。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

簡単に言うと「反復試行の式」です。
公式風に書くと
nCr × p^(n-r) × (1-p)^r
（確率pで成功、確率1-pで失敗する試行をn回繰り返して行ったとき、n回のうちr回だけ成功する確率）
です。
この式で r のかわりに x を入れて、r=3 、p=1/2 とすると件の式になります。
p=1/2の場合は、お察しの通り (1/2)^(3-x) × (1/2)^x の値は (1/2)^3 = 1/8 と一定値になります。

今回は、各ボールがツボAに入ることを「成功」、ツボBに入ることを「失敗」とたとえて、
ボールを3回投げ入れたうちの x 回がAに入る確率を P(X=x) として立式しています。
いかがでしょうか。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

とても分かりやすかったです。
これからは「反復試行の式」と覚えることにします。
その説明を聞いてから調べると、
確かに二項分布のところにその式がありました。
当時は意味を理解せずに機械的に解いていたようです。
これからは意味を踏まえて解こうと思います。
ご回答ありがとうございました！

回答No.1

asuncion

＞(1/2)^x ・(1/2)^(3-x)
＞は、xが0～3の値をとる限り、
＞どれも一定で1/8になりますよね・・・。

任意のxについて1/8になりませんか？
0～3っていう制限はかかりますか？

お礼

確かに0～3に限らず、1/8になりますね。
ありがとうございます。

補足

本題の「(1/2)^x」と「 (1/2)^(3-x)」の意味は分かりますか？