直応力の手計算について

質問

いつも大変お世話になっております。

ご質問させていただきます。

ある物質，例えば サイズ=100×100×100(mm）
ヤング率=1.2GPa(1200000000Pa)
ポアソン比＝0.22
線膨張係数=0.01 (/℃)

という材料があり，この材料を単品で100℃加熱した場合の
Ｚ軸方向のみの伸び量と，Ｚ軸方向のみの応力(直応力)を
手計算で求めることは出来るでしょうか。

ご教授お願い致します。

回答No.2

noname#230359

先ず、Ｚ軸方向のみの伸び量は、熱膨張量です。
この材料を単品で100℃加熱した場合を、温度の変化が100℃と考えます。
熱膨張量(mm)＝100mm(長さ)×0.01 /℃(線膨張係数)×100℃(変化温度)＝100mm
<全方向に100mm伸びます、又、実際は樹脂でも線膨張係数は0.0001 /℃程度です>

次に、Ｚ軸方向のみの応力ですが、100mmの両端固定で且つ熱影響を受けない条件で、
Ｚ軸方向のみの伸び量は100mm 。ヤング率(縦弾性係数)と応力の関係は、
応力(kg/mm2)＝ヤング率(kg/mm2)×ひずみ（単位無し）です。
そして、ひずみ＝伸び又は縮み量(mm)÷本の長さ(mm)＝100mm÷100mm＝1 です。
<ヤング率；1.2GPa ⇒ 約120kg/mm2 (単位換算)>をして、
Ｚ軸方向応力(kg/mm2)＝ヤング率(kg/mm2)×ひずみ（単位無し）
　　　　　　　　　　＝120kg/mm2 ×1
　　　　　　　　　　＝120kg/mm2 となります。
ポアソン比は、（Ｚ軸方向のひずみ÷Ｚ軸方向と直角のひずみ）であり、直接関係はありません。
Ｚ軸方向の100mm両端固定条件で、本来100mm伸びるべき変化がそのままなので、圧縮応力が働き、
Ｚ軸方向と直角方向に 100mm(伸び量)×0.22(ポアソン比) ⇒ 22mm伸びが発生する事柄です

Ｚ軸方向と直角方向に、何か拘束する物があれば、前述と同様の手順で考慮が必要です。

具体的な内容の追記があったので、追記をします。その前に、
前提条件が、現実離れしているので、事例説明も現実離れする事は容赦願います。
線膨張係数は、軟鋼；0.000012 /℃であり、PP樹脂；0.0001 /℃程度です。
だから、PP樹脂でも伸び量は1mm程度で、軟鋼なら0.12mmです。
また、ヤング率；1.2GPa ⇒ 約120kg/mm2 は、PP樹脂程度です。
そして、求めた応力が120kg/mm2は、軟鋼でも塑性変形する値です。
<弾性域を超える為に形状が変形して、天井等を押す力は、半分を大きく下回るでしょう>

120kg/mm2が素材の弾性域である条件で、100mm×100mm×120kg/mm2(求めた応力)により、
□100mm部分から、1200000kg(1200トン)の力が出て押す事になります。

その結果から、Ｚ軸方向の伸び量は、100mmより天井の重さだけ少なくなり、
Ｚ軸方向と直角方向の伸び量は、熱膨張量(100mm)＋天井の重さ縮み量×ポアソン比(0.22)
で求まります（となります)。

お礼

後の先，アフターユー 殿

大変丁寧なご解答ありがとうございます。

全く知識がないのですが非常に分かりやすく理解できました。
材料設定が現実離れしすぎていました。。。
申し訳ございませんでした。

また何かの機会に私の質問を見かけましたら是非アドバイスを
お願い致します。

ありがとうございました。

回答No.1

noname#230359

物理には全く詳しくないですが。。。。

均一加熱なら、どの方向にも応力が発生しないはずですが？
当然、Ｚ方向も、サイズ×線膨張率×温度差　分伸びが発生する

Ｚ方向で100℃の温度勾配があるとする非定常状態なら、熱膨張により上下の寸法差が発生する→温度勾配分だけＸＹ方向に内部応力が発生→Ｚ方向はその分力で僅かな応力。。。。となるのでは？

お礼

岩魚内 殿
早急なご解答ありがとうございます。
助かります。

重ねてご質問させていただきます。
先程の材料の底面を固定し(床に置いた状態)，その上にさらに完全に
固定され動かない天井のようなものに上面が接している状態で
100度の加熱を行なった場合の天井が受ける単位面積あたりの
直応力を計算することは可能でしょうか？

よろしくお願い致します。