絶対値を含む不等式が分かりません。

質問

問題集で出てきて疑問に思ったので質問させていただきます。

|x+3|=4xは、0以上と未満で場合分けをするのに対して、
|x|+|x-1|=x+4は、なぜ0未満、0以上1未満、1以上と場合分けをするのでしょうか。
よく分からないので教えてください。

回答No.2

noname#222520 · ベストアンサー

|x+3|=4xについては、次の2通りの考え方があります。

(1)4x≧0(x≧0)の場合と4x＜0(x＜0)の場合に分ける考え方

・4x≧0(x≧0)の場合
x+3＞0であるから、
x+3=4x
-3x=-3
x=1（大前提であるx≧0を満たします。）

・4x＜0(x＜0)の場合
|x+3|≧0であるから、解はありません。

よって、x=1

(2)x+3≧0(x≧-3)の場合とx+3＜0(x＜-3)の場合に分ける考え方

・x+3≧0(x≧-3)の場合
x+3=4x
-3x=-3
x=1（大前提であるx≧-3を満たします。）

・x+3＜0(x＜-3)の場合
-(x+3)=4x
-x-3=4x
-5x=3
x=-3/5（大前提であるx＜-3を満たしません。）

よって、x=1

なお、当然のことながら、(1)(2)の結果は一致します。
以上のことから、|x+3|=4xは、0以上と未満で場合分け（つまりは右辺に着目）をしても支障ありません。

|x|+|x-1|=x+4についても、右辺に着目をすると次のようになります。

(1)x+4≧0(x≧-4)の場合

・-4≦x＜0のとき
-x-(x-1)=x+4
-2x+1=x+4
-3x=-3
x=1（大前提である-4≦x＜0を満たしません。）

・0≦x＜1のとき
x-(x-1)=x+4
-x=3
x=-3（大前提である0≦x＜1を満たしません。）

・x≧1のとき
x+x-1=x+4
x=5（大前提であるx≧1を満たします。）

よって、x=5

(2)x+4＜0(x＜-4)の場合

-x-(x-1)=x+4
-x-x+1=x+4
-3x=3
x=-1（大前提であるx＜-4を満たしません。）

よって、解はありません。

以上からx=5

結局、絶対値の中の式の符号で場合分けをすることになり、右辺に着目をしても意味をもちません。

お礼

ありがとうございます。
丁寧な説明ありがとうございます

回答No.1

f272

何か勘違いをしている。場合わけは絶対値の中が0になるとことでわけます。
したがって
|x+3|=4xのときはx=-3の前後で
|x|+|x-1|=x+4のときはx=0とx=1のところで分けるのです。

お礼

なるほど、ありがとうございます