数学 差の絶対値の期待値の問題について

質問

以下の問題について解説をお願いします。

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1 2 … 19 20の番号が書かれたカードがそれぞれ１枚ずつある。
これら20枚のカードから無作為に２枚を同時に取り出すときその２枚の番号の差の絶対値の期待値はいくらか。
(答)7
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二つのサイコロを振る試行のように、差の絶対値で場合分けし、それぞれの確率と絶対値を
かけて求める方法がありますが、ここでは計算量が膨大になるため、違う解法があるのではないかと思います。

解答の方針だけでも教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#231195 · ベストアンサー

>差の絶対値で場合分けし、それぞれの確率と絶対値をかけて求める方法がありますが
そうやるんですよ。大した計算量にはなりません。

まず、差が19の場合と言うのは1通りです。1-20の組み合わせだけです。
差が18の場合は2通りです。1-19の組み合わせと、そのカードの数をひとつづつ増やした2-20の組合わせです。
差が17の場合は、1-18、数をひとつづつ増やした2-19、さらにひとつづつ増やした3-20。
・・・・・
もうわかると思いますが、絶対値の差xとその組み合わせの数には簡単な関係があります。
つまり絶対値の差とその組み合わせの数は必ず足して20になるのです。

2枚のカードを取り出すやり方は190通りあります。これは上のように考えて1から19まで足し合わせてもいいですし、組み合わせの数を求める"公式"に当てはめてもいいです。

次に期待値を計算しますが、1×19＋2×18＋とやっていっても高々19回の掛け算ですから大した計算量ではありません。
あるいは、規則があることがわかっているのですから、こういう風に計算することもできます。差をxとすると(ただしxは1から19までの整数)、期待値Eは添付の画像のようになります。
最後のところで級数の和の公式を使っています。

お礼

確かに冷静に考えると単純に計算したほうが、かえって早く求まるかもしれませんね！
また、図の解答方法が直感的に非常にわかりやすかったため、
ベストアンサーにしていただきます。
懇切丁寧な解答ありがとうございました。

回答No.1

noname#222520

1～20の番号の中から無作為に2枚を同時に取り出すとき、1を必ず含む場合の2枚の番号の差の絶対値の和は1～19の和になるので、(1+19)*19/2=190
同様に、2～20の番号の中から無作為に2枚を同時に取り出すとき、2を必ず含む場合の2枚の番号の差の絶対値の和は1～18の和になるので、190-19=171
同様に、3～20の番号の中から無作為に2枚を同時に取り出すとき、3を必ず含む場合の2枚の番号の差の絶対値の和は1～17の和になるので、171-18=153
同様に、17～20の番号の中から無作為に2枚を同時に取り出すとき、17を必ず含む場合の2枚の番号の差の絶対値の和は1～3の和になるので、1+2+3=6
同様に、18～20の番号の中から無作為に2枚を同時に取り出すとき、18を必ず含む場合の2枚の番号の差の絶対値の和は1と2の和になるので、1+2=3
同様に、19と20の番号2枚を同時に取り出すとき、2枚の番号の差の絶対値は1

以上の差の絶対値の和を数列とみなすと、初項が1で、この階差数列は初項が2、公差が1の等差数列になるので、
一般項an=1+(2+n)(n-1)/2=（n^2+n)/2
この数列の和は、
Sn
=∑[k=1→n](k^2+k)/2
={n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2}/2
n=19であるから、求める和は、
(19*20*39/6+19*20/2)/2
=(2470+190)/2
=2660/2
=1330

20枚のカードから無作為に2枚を同時に取り出す取り出し方は、20C2=190通り

よって、求める期待値は、
1330/190=7

お礼

階差数列を含む数列の和を利用するのですね！
すっかり求め方を忘れていました。
この機会に復習してみます。
迅速な解答ありがとうございました！