線形代数の証明

質問

線形性、交代性、正規性を満たすとき、行列Aの関数ｆ(A)がad-bcであることを証明しなさい。

A=
ab
cd

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

A=
(a,b)
(c,d)
=
(a,b;c,d)
とすると

f(A)=f(a,b;c,d)
↓(a,b)に関して線形だから
f(A)=f(a,0;c,d)+f(0,b;c,d)
f(A)=a*f(1,0;c,d)+b*f(0,1;c,d)
↓(c,d)に関して線形だから
f(A)=a{f(1,0;c,0)+f(1,0;0,d)}+b{f(0,1;c,0)+f(0,1;0,d)}
f(A)=a{c*f(1,0;1,0)+d*f(1,0;0,1)}+b{c*f(0,1;1,0)+d*f(0,1;0,1)}
↓交代性からf(1,0;1,0)=-f(1,0;1,0)→f(1,0;1,0)=0だから
f(A)=ad*f(1,0;0,1)+b{c*f(0,1;1,0)+d*f(0,1;0,1)}
↓交代性からf(0,1;0,1)=-f(0,1;0,1)→f(0,1;0,1)=0だから
f(A)=ad*f(1,0;0,1)+bc*f(0,1;1,0)
↓交代性からf(0,1;1,0)=-f(1,0;0,1)だから
f(A)=ad*f(1,0;0,1)-bc*f(1,0;0,1)
↓正規性からf(1,0;0,1)=1だから
f(A)=ad-bc

回答No.5

178-tall

バレてるでしょうが、一応、錯誤の訂正。

　A = [a　b ; c　d]
　= [aE1 ; dE2] + [cE1 ;b2]~

回答No.3

178-tall

スタート・ライン？
(行の入れ替えは、~ に統一。
　A~ = [S ; R]
　U~ = [0　1 ; 1　0]
など)

前出の演算則に沿えるよう A を整形。
　A = [a　b ; c　d]
　= [aE1 ; dE2] + [cE1 ; dE2]~

あとは演算則を眺めつつ、ひたすら勘定。

回答No.2

178-tall

>線形性、交代性、正規性を満たすとき、行列Aの関数ｆ(A)がad-bcであることを証明しなさい。

# 準備がメンドいようで…。

2 次正方行列 A を
　[a　b ; c　d] = [R ; S}
　　ただし R = [a　b], S = [c　d]
と記す。

E1 = [1　0], E2 = [0　1] とすれば、単位行列 U は
　U = [E1 ; E2]
行の入れ替え。
　A~ = [S ; R]
　U' = [0　1 ; 1　0]

関数 f(A) = のプロパティ。

・(多重)線形性
　　f( [pR ; S} ) = p*f( [R ; S} )
　　f( [R1+R2 ; S} ) = f( [R1 ; S} ) + f( [R2 ; S} )
・交代性
　　f( [S ; R} ) = -f( [R ; S} )
　　⇒ f( [R ; R} ) = 0　　… (1)
・正規性
　　f(U) = 1
　　⇒ f(U') = -1　　… (2)

と揃えて、さて…？

回答No.1

noname#221368

線形性、交代性、正規性の定義は書けますか？。それがOKなら、後は地道な計算のみです。

　・・・とは言っても、最初は思いつかないかも知れない(^^;)