一様連続の証明について
疑問点を整理しての再質問です。
よろしくお願いします。
定理：『閉区間〔a,b〕で定義された連続関数は一様連続である。』
の証明についてです。
一様連続とは
「任意のε>0に対してδ>0が存在して、｜x－y｜<δを満たす区間内の
全てのx、yに対し、｜f(x)ーf(y)｜<εが成り立つ。」
ということですので、
背理法でこの定理を証明する場合は
「あるε>0において、どのようなδ>0に対しても｜x'-y'｜<δ
かつ｜f(x')-f(y')｜≧ε x'、y'∈〔a,b〕となるx'、y'が存在する。」・・・（※）
ことの矛盾を導けばよいのですが、
ここで以下のサイトの命題４、１を見てください。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q=%E4%BA%95%E4%B8%8A%E6%B7%B3%E3%80%80%E4%B8%AD%E9%96%93%E8%A9%A6%E9%A8%93%E3%80%80%E8%AC%9B%E7%BE%A9%E5%86%85%E5%AE%B9%E3%80%80%E6%96%B0%E3%81%97%E3%81%84%E5%B9%B4&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=
これは私が勉強している参考書「微分積分学 難波誠著」と同じ証明方法です。
ここでは部分列の極限値（x、y）においてのみ
｜f(x)-f(y)｜＝0となり、｜f(x)-f(y)｜≧ε>0に矛盾する、として
証明を完了しているのですが、
それでは（※）を満たすｘ'、y'が“一つも存在しない”ことにはならないので証明としておかしいような気がするのですが、
どうでしょうか？
よろしくお願いします。
お礼
教えて頂いたポイントを子供と一緒に頑張っていますが まだ、できません どうしてもできるまで頑張ると言っているので もうちょっと一緒に頑張ってみます ありがとうございます