行列の写像のwell-definedの証明ができま
宜しくお願い致します。
N_n:={X;Xはn×n正規行列}とし,2つの写像f:R→R,F:N_n→R^{n×n}を
f(x):=Σ_{k=0}^∞a_kx^kとし,Fは
X=P^t diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)P (但し,Pは直交行列,diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)は対角行列)と書けるので,
F(X):=P^t diag(f(λ_1),f(λ_2),…,f(λ_n))Pと定義するとFはwell-definedである事を示す問題です。
[証]
背理法を使って証明する。
X:=P^t diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)P=Q^t diag(μ_1,μ_2,…,μ_n)Q…(*)の時
(ここで,λ_1,λ_2,…,λ_n,μ_1,μ_2,…,μ_nはXの固有値となりますね),
P^t diag(f(λ_1),f(λ_2),…,f(λ_n))P≠Q^t diag(f(μ_1),f(μ_2),…,f(μ_n))Qとなったと仮定すると,
左辺=(Σ_{k=1}^n p_{ki} f(λ_k) p_{jk}),
右辺=(Σ_{k=1}^n q_{ki} f(μ_k) q_{jk}),
なので
∃l,m∈{1,2,…,n}; Σ_{k=1}^n p_{kl} f(λ_k) p_{mk}≠Σ_{k=1}^n q_{kl} f(μ_k) q_{mk}で,
(*)より, ∃r,s∈{1,2,…,n}; λ_r≠f(λ_r)または,μ_s≠f(μ_s)が言える。
従って, λ_r≠Σ_{k=0}^∞a_kλ_r^kまたは,μ_s≠Σ_{k=0}^∞a_kμ_s^k
まで言えたのですが,ここからどうやって矛盾が引き出せますでしょうか?
