50円切手と120円切手は同じ枚数買っているので、それぞれm枚買ったとします。80円切手をn枚買ったとします。買った切手の枚数なので、mとnは自然数という条件が付きます。
すると、合計金額が590円であることから、次の式が成り立ちます。
50m+120m+80n=590
この式を整理して行くと以下のようになります。
170m+80n=590
∴17m+8n=59
∴n=(59-17m)/8
最後の式で、nが自然数であることから、右辺の(59-17m)/8も自然数とならねばなりません。すると、59-17mが8で割り切れればよいと分かります。後は、mを0から順に試して行くだけです(仮にmをマイナスとすると、マイナスの枚数売った、つまり買ったことになるので、考えなくてよい)。
m=0:59-17m=59-17×0=59 →59は8で割り切れないから、これではない。
m=1:59-17m=59-17×1=42 →42は8で割り切れないから、これではない。
m=2:59-17m=59-17×2=25 →25は8で割り切れないから、これではない。
m=3:59-17m=59-17×3=8 →25は8で割り切れないから、これはあり得りえて、n=1。
m=4:59-17m=59-17×4=-9 →マイナスなので、80円切手をマイナス枚買った、つまり売ったことになり、これではない。
これ以上大きいmを試してもマイナスとなり、同じ理由であり得ないので、ここで打ち切るべきと分かります。
すると、80円切手の枚数が「n=1」だから「80円切手は1枚買った」と分かります。
P.S.
m=4からは、50円切手、120円切手をそれぞれ4枚ずつ買ったと分かります。そして、あり得る全ての場合を調べたので、80円切手の枚数を含め、それ以外にはあり得ません。
こんな感じで、答えの候補が一つ見つかっても止めず、あり得る全ての場合を考え尽くすことが大事です。
お礼
皆さん回答ありがとうございました。