行列と筆算（１とE）

質問

以下、行列は[第１行;第２行]とします。たとえば
12
34 は[1 2; 3 4]　とします。

２次正方行列Aと同じ型の単位行列Eがあって、
A=[5 3; -6 -4]のとき、A^3を求めるときの話です。

ハミルトンケーリの式から
A^2-A+2E=Oがなりたつので、これで次数下げしたい（今はそういうことにします。他のや
りかたはここでは考えません）のですが、そのときたとえばxの整式のときの筆算のように、
Aをx,Eを定数のように扱って、係数だけとりだして筆算してみたんですが（添付画像をご覧ください）
A^3=(A^2-A+2E)(A+1)+(1-2E)A-2E　になってしまいました。
この場合、筆算において、商の定数部分１が、本来Eになるべきみたいですが、どうしてこの筆算ではおかしくなるんでしょうか？？？独学なので、助けてください！

回答No.2

DIooggooID

ｘ^n　=　（　ｘ　-　ｘ　-　２　）Ｑ（ｘ）　+　aｘ　+　b　　

　　　　=　（　ｘ　-　２　）（　ｘ　+　1　）Ｑ（ｘ）　+　aｘ　+　b　　

　ここで、ｘ　=　2、　ｘ　=　-1　を代入すると、・・・

　　　　２^n　　=　2a　+　b　　　
　　　　(-1)^n　=　-a　+　b　
　この連立方程式を解くと、・・・

　　　　　a　=　（　２^n　-　 (-1)^n　）／３
　　　　　b　=　（　２^n　+　2(-1)^n　）／３　　　　　　　　　

　したがって、

　　　　Ａ^n　=　（　２^n　-　 (-1)^n　）／３・Ａ　+　（　２^n　+　2(-1)^n　）／３・Ｅ

　ちなみに、三乗の場合

　　　　Ａ^3　=　（　２^3　-　 (-1)^3　）／３・Ａ　+　（　２^3　+　2(-1)^3　）／３・Ｅ

　　　　　　　=　（　　8　-　 　(-1) 　）／３・Ａ　+　（　　8　 +　　(-2)　 ）／３・Ｅ

　　　　　　　=　３・Ａ　+　２・Ｅ

　　　　　　　=　[　17　9;-18　-10]

回答No.1

DIooggooID

筆算を行っている、理由が不明です。

ただ単に　Ａ^3　を求められれば　良いのであれば、・・・

（与　式）　：　　Ａ^2　-　（a+d)Ａ　+　（ad-bc）Ｅ　=　0
　　∴　　　　　　Ａ^2　=　（a+d)Ａ　-　（ad-bc）Ｅ

　　　　　　　　　Ａ^3　=　ＡＡ^2
　　　　　　　　　　　　=　Ａ　｛（a+d)Ａ　-　（ad-bc）Ｅ　｝
　　　　　　　　　　　　=　（a+d)Ａ^2　　　-　（ad-bc）Ａ
　　　　　　　　　　　　=　（a+d)　｛（a+d)Ａ　-　（ad-bc）Ｅ　｝　-　（ad-bc）Ａ
　　　　　　　　　　　　=　（a+d)^2Ａ　-　（a+d)（ad-bc）Ｅ　-　（ad-bc）Ａ
　　　　　　　　　　　　=　　　Ａ　　　-　　　　（-2）Ｅ　　 -　　（-2）Ａ
　　　　　　　　　　　　=　　　Ａ　+　2Ｅ　+　Ａ
　　　　　　　　　　　　=　　　[17　9;-18　-10]

お礼

ありがとうございました。