画像解析

質問

画像解析手法につき結論だけ読み齧って、証明がわかりません。知識が不足しておりますのでよろしくお願いします。3D空間の物体が、中が二つの相（たとえば固相αと細孔の相β）が入り混じったものとします。

この3Dの物体の断面をとり、(1)断面に格子を当てて、αに落ちた点の全点（α+β）の比をとった場合、(2)断面に線を何本も引き、各線の全長さに対して、αを通る部分の長さの割合をとった場合、（3)断面の面積のうち、αの部分の面積の割合をとった場合、はいずれも3D空間でのα相の割合に当りますでしょうか？

α相について、これの体積をV、β相との界面をSとして、S/Vを考えます。一方断面に線をいくつも引いて、この線が単位長さ当り、断面のα相とβ相の境界線と何回交差するかの数をNとしますとS/V=2Nになるのでしょうか？あるいは断面をとってこの上に線を引き、単位α相断面積あたりの、αとβの境界と交差した数をMとしたとき、S/V=(4/π)Mになるのでしょうか。

文が読みにくいかもしれませんで済みません。一部でも導出を教えていただく、あるいは参考になるサイトを教えていただくと助かります。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2のコメントについてです。

> 断面をとってランダムにpointをとり、α相の断面をhitしたpoint数の比率Ppとは同じ値に収束する

　違うと思います。例えばα相とβ相が完全な層をなして分布しているときに、断面を作る際にたまたま層に平行に切っちゃったとすると、その断面を幾ら調べても結果はVv=0かVv=1のどっちかにしかならないでしょ。ならば同じサンプルのいろんな断面を観察すればいいかというと、硬い鉱物と柔らかい鉱物が層になってる石をハンマーで叩いて割って作る断面には柔らかい方ばかりが出る。これじゃ駄目ですね。
　おそらく、「ランダムに作った断面上に、ランダムにポイントを取ったとき、α相の断面をhitしたpoint数の比率Ppの期待値はVvに等しい」と言っているだけなんじゃないかなあ。沢山の、ランダムな（向きも場所もランダム）断面を測れば、大数の法則によって収束する。

>　2Dのα相面積比率（pointをとってα相の分率を決める）と3Dでの体積比率は等しいという記述

2Dのα相面積比率を測るために断面上に格子状にポイントを取るという話は「格子点の向き、位置をランダムに選んだ場合」という条件付きでなくてはならない。さらに、測定結果の期待値がα相面積比率に等しいというに過ぎません。というのは、仮にα相とβ相が一定間隔の縞模様になっているとして、その縞に格子がきっちり乗ってしまったら、断面のα相面積比率とは全然違う測定値が出るでしょう。ですから、一度の測定で出した答は大ハズレかも知れない。
　2Dのα相面積比率と3Dでの体積比率は等しい、という話は、やはり断面と格子がどっちもランダムに選ばれた場合の、期待値のことですね。

> 3Dで考えるα相の面積と体積の比Svと、2D（断面）の上で線を引いてその線が単位長さあたりにα相の周囲（=β相との境界）と何回交差するかPl、の間に定量的関係(Sv=2Pl)がある

　面白い話ですね。明らかな反例が作れますから、期待値の話だと考えなくては意味をなしません。「3Dで考えるα相の面積」というのは、β相を除去して現れるはずのα相のカタマリの表面積（カタマリ内部に空洞があってもよくて、その空洞の表面積も含む）、ということでしょうね。で、Sv = 表面積/体積は、サンプル中にランダムに引いた(3D空間内での）直線がα相の表面と交差する単位長さあたりの頻度PIの期待値E[PI]の丁度2倍である（Sv=2E[Pl]）ということは、正しそうだし、適当な条件下で証明可能のような気がします。

お礼

たびたびお付き合いいただいて恐縮です。
>「ランダムに作った断面上に、ランダムにポイントを取ったとき、α相の
> 断面をhitした point数の比率Ppの期待値はVvに等しい」と言っているだ
> けなんじゃないかなあ。沢山の、ランダムな（向きも場所もランダム）
> 断面を測れば、大数の法則によって収束する。
......
>　2Dのα相面積比率と3Dでの体積比率は等しい、という話は、やはり断
> 面と格子がどっちもランダムに選ばれた場合の、期待値のことですね。

これらはそういう意味だと思います。納得です。

>（Sv=2E[Pl]）ということは、正しそうだし、適当な条件下で証明可能の
> ような気がします。

希望が持てたので証明を再挑戦して見ます。

回答No.2

stomachman

ご質問にある関係式はいずれも一般には成り立たず、3次元空間での体積の割合どころか、断面上での面積の割合すら出ません。
　一方、断面上にランダムにサンプル点を取ってα相とβ相それぞれに落ちた点の個数の比を取れば、断面上での面積の割合に収束します。（でもコンピュータで画像解析をやるのなら、単に全ピクセルについてα相かβ相かを仕分けすることになるでしょう。ただし、１ピクセルよりも細かい領域の中にふたつの相が複雑に入り交じっている、というのでは困るわけで、「画像の解像度が十分かどうか」という問題が残っています。）
　しかし、断面上でのα相とβ相の面積比から3次元空間での体積比を推定するのは、無理です。α相とβ相の分布の仕方について、何か統計的な性質（たとえば、H: 「統計的に等方的であって、どの断面をとってもα相とβ相の断面積比は両者の体積比とほぼ等しい」、と言えるなど）がない限り、断面の計測をやっても体積比には繋がりません。
　工学的には、ある条件とそれに類似の条件で作られたサンプルについて、非常に多数の断面を取って「3次元空間での体積の割合」の近似値を測定し、これと各断面での面積比とを比較して、例えば仮定Hを検証できたとすると、Hを使って他のサンプルについて断面上でのα相とβ相の面積比から3次元空間での体積比を推定する、というやり方を確立できるかも知れません。

　牧島,他　「計量形態学」（内田老鶴圃 S58年)（DoHoff, Rhines”Quantitative Microscopy"の訳書）には、金属組織の顕微鏡像について、ご質問に類する計測法の論文がいくつも載っていますが、残念ながら＜計量形態学＞なる学問体系を打ち立てられるところまでは行きつけていないようです。

補足

回答有難うございます。質問した理由は"Porous Media, Fluid Transport and Pore Structure", F. A. L. Dullien, Academic Press (1979)でこれに質問に記述したような結論だけがあり、引用としてUnderwood "Quantitative Stereology", Acadmic Press, (1970)が挙がっていました。
その中には、たとえばα相のVolume Fraction, Vvと、断面をとってランダムにpointをとり、α相の断面をhitしたpoint数の比率Ppとは同じ値に収束するように書かれていました。これについては私はなんとなく納得し、自分で証明しようとも考えなかったのです。一応、
http://www.liv.ac.uk/fetoxpath/quantoxpath/vv_est.htm
にも、2Dのα相面積比率（pointをとってα相の分率を決める）と3Dでの体積比率は等しいという記述がありました。これが成り立つにはなにか制限があるのでしょうか？
一方、3Dで考えるα相の面積と体積の比Svと、2D（断面）の上で線を引いてその線が単位長さあたりにα相の周囲（=β相との境界）と何回交差するかPl、の間に定量的関係(Sv=2Pl)があることになっていたので、簡単なモデルで確認しようとしたのですが、うまく行きませんでした。実際これらの量的関係をどこか別の資料で見つけることも出来ませんで困っておりました。

回答No.1

spring135

精度の問題だと思います。
(1)断面に格子を当てて、αに落ちた点の全点（α+β）の比をとった場合、
(2)断面に線を何本も引き、各線の全長さに対して、αを通る部分の長さの割合をとった場合、
(3)断面の面積のうち、αの部分の面積の割合をとった場合、

(1）格子のメッシュによるdegitalizationが生じますので、メッシュは十分小さくとる必要があります。
(2)隣り合う線の太さと線の幅を十分小さくする必要があります。αを通る部分の長さの測定精度に気をつける必要があります。
(3)これが実現できるなら、(1)、(2)は不要です。

更に面と面の間隔も重要な影響を与えます。固相αと細孔の相βの分布は均一ではないでしょうから間隔を大きく取ると測定結果が平均値に近い値を得ているのかどうか、確率論的な考察が必要でしょう。

ともあれ、適当な面や線や格子を取ってやって見て、これらを増やしてみても代わらなく慣れが収束したと考えられます。

お礼

早速のご回答有難うございました。御指摘の通りとはおもいますが仮に収束してくれたとして、その収束先の2Dの数値から3D情報を得るという定量関係がちょっとトライした印象では本に書いてあるように行かなかったのです。
（”Porous Media Fluid Transport and Pore Structure" F.A.L. Dullien, Academic Press(1979))