大至急お願いします！解析の問題です！！！！
大至急御願いします！解析の問題です！！！！
分かる範囲でいいので、なるべく詳しくお願いします！
1問でもかまいません！よろしくお願いします！
1.
(1)R^2のノルム||・||を一つ選んで、その選んだノルムの定義を記せ。
(2)pを正の定数とし、B={y^→（ｙベクトル）∈R^2;||y^→||≦p}とおく。
ある定数M>0が存在し、任意のy^→=(y1),z^→=(z1)∈Bに対して
(y2) (z2)
|y1^2-z1^2|≦M||y^→-z^→||,|y2^2-z2^2|≦M||y^→-z^→||,|y1y2-z1z2|≦M||y^→-z^→||
が成り立つことを示せ。
(3)Iを有界閉区間とし、a(x),b(x),c(x),d(x)はI上の連続関数とする。R^3の領域
E=I×B={(x,y^→);x∈I,y^→∈B}
において、微分方程式
(y1)´=(a(x)y1^2+b(x)y2^2)
(y2) (c(x)y1y2+d(x) )
の解は、I×B内に任意に与えられた初期条件に対して一意的に存在することを示せ。
(4)前問の微分方程式について、
I×R^2={(x,y^→);x∈I,y^→∈R^2}
においても初期条件に対する解の一意性が成り立つことを示せ。
2.
ＩをRの区間とする。f^→(x,y^→)はI×R^nの連続関数とする。
微分方程式y^→=f^→(x,y^→)については、初期条件に対する解の一意性が成り立つと仮定する。
(1)Ｉ×R^n上で||f^→(x,y^→)||が有界であるとき、この微分方程式の任意の解はI全体に延長可能であることを示せ。
(2)ある定数M>0が存在して、I×R^n上で
||f^→(x,y^→)||≦M√||y^→||
が成り立つとき、やはりこの微分方程式の任意の解はI全体に延長可能であることを示せ。
3.
微分方程式(y^→)´=f^→(x,y^→)について、初期条件に対する解の一意性が成り立っているとする。
この微分方程式の、初期条件y^→(a)=b^→をみたす極大延長解を
p^→(x,a,b^→)で表し、その定義される区間をIとする。このとき、任意のa1∈Iに対して、
p^→(x,a1,p^→(a1,a,b＾→)=p^→(x,a,b^→) (任意のx∈I)
が成り立つことを示せ。
よろしくお願いします！！！！！
