デルタ関数の畳み込み

質問

f(t)＊δ(t-T)=f(t-T)
を証明せよ。という問題なのですが
∫[-∞,∞]δ(x-T)f(t-x)dx
と畳み込みをし、その後
x-T=τと変数変換を行いf(τ+t-T)を作ろうとしたのですが
うまくいきませんでした。

この畳み込みの後どのように行えば証明できるでしょうか？
お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>∫[-∞,∞]δ(x-T)f(t-x)dx
>と畳み込みをし、その後
>x-T=τと変数変換を行いf(τ+t-T)を作ろうとしたのですが
f(t-x) → f(t-T-τ) の間違い
∫[-∞,∞]δ(x-T)f(t-x)dx
=∫[-∞,∞]δ(τ)f(t-T-τ)dτ　←　δ(-τ)=δ(τ)であるから下へ
=∫[-∞,∞]δ(-τ)f(t-T-τ)dτ　←　τ=-τ'と置換して下へ
=∫[∞,-∞]δ(τ')f(t-T+τ')(-1)dτ' ←積分の上下限を入れ替えて下へ
=∫[-∞,∞]δ(τ')f(t-T+τ')dτ'　←δ関数の定義を適用して下へ
=f(t-T-0)
=f(t-T)
となる。

お礼

いつもわかりやすい説明ありがとうございます。

わかりました。

回答No.1

Tacosan

「うまくいきませんでした」というのは, どう「うまくいかなかった」のですか?
あと, 念のためですが「δ関数」はどのように定義されていますか?

お礼

間違えました
δ(τ)f(-τ+t-T)
です。

補足

δ(τ)f(-τ+t+T)となりf(τ+t-T)が作れませんでした。
δ(-τ)=δ(τ)を使うと考えたのですがこれでいいでしょうか？

定義とは
δ(t)＝｛０(t≠0）、１(t=0)
ということでしょうか？