連続したn個の整数の積
ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることがわからないので質問します。問題は、
整数a,bを係数とする２次式f(x)=x^2+ax+bを考える。f(α)=0となるような有理数αが存在するとき、以下のことを証明せよ。
(1)αは整数である。(2)任意の整数lと任意の自然数nに対して、n個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。
(1)α=m/n(m,nは互いに素な整数)とおくと条件より (m/n)^2+a(m/n)+b=0,
m^2/n=-(am+bn) m^2はnで割り切れるが,m,nは互いに素だから n=±1しかない。ゆえにα=±mとなり、αは整数である。
(2)f(α)=0だから、f(x)=x^2+ax+b=0となる2次方程式は、x=αなる解をもつ。ほかの解をβとすれば、解と係数の関係からα+β=-a,β=-a-αよりβも整数である。ゆえにf(x)はこの２整数α,βを用いて、f(x)=(x-α)(x-β)と因数分解できる。したがってf(l)=(l-α)(l-β)となりf(l)はl-αで割り切れる。同様に、
f(l+1)はl+1-α で
f(l+2)はl+2-α
・・・
f(l+n-1)はl+n-1-α で割り切れる。
ゆえにf(l)f(l+1)f(l+2)・・・f(l+n-1)はそれらの積 (l-α)(l+1-α)(l+2-α)・・・(l+ｎ-1-α)=
(l-α)(l-α+1)(l-α+2)・・・(l-α+n-1)で割り切れる。
ここがわからないところです。
l-αからはじまる引き続いたn個の整数の積だから、どこかにnの倍数がある。
自分はl-α=-3 n=4で計算をしたら、 -3,-2,-1,0 となり0が４で割り切れるのかと疑問に思ったり、
他の数を代入して計算してみても、ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることが実感できませんでした。
解答の続きは、よってn個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。でした。
どなたか、ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることを証明してください。お願いします。
補足
ご指摘ありがとうございます。 自己解決いたしました、前のスレッドにて提示した内容は どうやら、２分探索の形式を判断するところでした今までありがとうございました。