x以下の双子素数の個数
素数定理から、x以下の素数の個数π(x)は(xが十分大きければ)、x/logx程度であると考える事ができます。
ここから、x自身が素数である"確率"(確率という言葉は適切ではないですが)は、1/logxと考える事ができます。
この部分には、いろいろな考え方がありますが、
例えば、x以下の自然数を取り出した時に、それが素数である確率は、π(x)/x=1/logxであり、xが十分大きければ、これをx自身が素数である"確率"と考えられるでしょう。
(x,x+2)の組が双子素数である、つまり、xとx+2が同時に素数となる"確率"は、
1/(logx)*(1/(log(x+2))≒1/(logx)^2
と考える事ができます。
すると、これを積分した、
∫[x:2→x](1/(logx)^2))dx
の値でx以下の双子素数の個数と見積もることができます。
と、考えました。ところが、
この積分で1,000,000以下の双子素数を見積もると、およそ950程度となります。(積分値を計算するソフトがないので、大雑把な値です)
一方、1,000,000以下の双子素数の個数は、1224個です。
けっこう大きな差がありますよね。1,000,000という値では小さすぎたのかな、とも思いましたが、ウィキペディアを見てみると、この辺りの話が載っていて、
x以下の双子素数の個数は、上の積分に、２Ｃをかけたもので見積もっています。
なお、Ｃ＝Π[p>2](1-1/(p-1)^2)≒0.6601ということだそうです。
実際に、この２Ｃをかけた値で、1,000,000以下の双子素数の個数を見積もってみると、およそ1250個となって、確かに、実際の値と非常に近い値となって、確かに２Ｃをかける事に意味はありそうなのですが、
いったい、このＣという値はどういう根拠がある数値なのでしょうか？
あるいは、∫[x:2→x](1/(logx)^2))dxでx以下の双子素数の個数を見積もった場合、どうして実際の数より小さくなるのでしょうか？
なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。
お礼
わかり易い 説明ありがとうございます