＞一応８月１日付の健康保険加入をお願いしたのですが、年金手帳の再発行期間等を考えるとその通りにできるものなのでしょうか？
それはわかりません、当然資格取得日が８月１日を大幅にオーバーするということもあるかも知れません。
＞任意継続の８月分の支払い期日も迫っているのですが、もしもこれを不払いということになると、新しく健康保険に加入できなくなるのでしょうか？
そういうことはありません、任意継続と新しく勤める会社の健康保険とは直接は関連がありませんから。
ただなぜいわゆる任意継続の強制脱退にこだわるのか、わからないですね。
強制脱退だと８月１０日までに保険料を払わずに、１１日に資格喪失となります。
しかし上記のような話だと例えば手続きが遅れて保険証を手にするのが１０日を過ぎて、しかも資格取得日が例えば８月１５日というように遅れている場合があるかもしれません。
この場合は８月１１日～１４日までが健康保険の空白期間になってしまうということです。
これを避けるためにはちょっと面倒ですが、一旦任意継続の保険料を払って新しい保険証が来た時点で、任意継続の脱退届けを出すことです、そうすれば払ってしまった８月分の保険料は返還されますし、例え新しい保険証の資格取得日が８月１５日になっていても任意継続は１４日まで有効になりますから空白期間はないということです。
要するに強制脱退は保険料を払わなければ脱退できるという手間が簡単と言うメリットがありますが、脱退日が固定されてしまうので次の健康保険との間に空白期間ができやすいというデメリットがあります。
逆に正式な脱退手続きをすれば手間が面倒と言うデメリットはありますが、脱退日が次の健康保険の資格取得日になるので空白期間は絶対にありえないというメリットがあるということです。
また保険料に日割りはありません１ヶ月単位で支払います、ですから月の途中に任意継続を脱退すれば、８月の分は任意継続に払う必要はありませんが、新しい会社の健康保険の８月分は払わねばなりません、つまりその月の月末の状態で支払先が変わります。
ただし脱退までは任意継続の保険証は有効で、その翌日から新しい会社での保険証が有効になります。
つまり保険料の支払と保険証の有効期間にはズレがあると言うことです。
つまり質問者の方の場合はどちらにしろ８月分の保険料は払わなくてよいが、強制脱退だと初めから払わないが、脱退手続きをすると一旦払ってそれを返却してもらうという手間が掛かるということです、しかしこの場合は空白期間が出来ません。
ですからもし空白期間が出来るのが心配であれば、きちんと脱退届けをすればよいだけです、ただちょっと手間が掛かりますよということです。
一応下記が任意継続の脱退の手順です。
健保組合（政管健保ならば社会保険事務所です、以下同じ）に連絡して就職して新しく健康保険に加入した旨を伝えて脱退届けの書類とそのときの添付書類（恐らく一般には新しい健康保険の保険証のコピーだと思いますが、健保組合によっては加入証明のような書類を要求されるかもしれません）について聞いてください、通常は郵送で処理できるはずです。
もし重複して保険料を支払ってしまった場合は、返還されると思いますので振込口座を書いて同封するように言われるかも知れません。
書類が着いたら脱退届けの所定の項目に書き込み、任意継続の保険証と、添付書類、振込口座を書いたもの、これらを送付すれば健保組合で処理しくれるはずです。
恐らく脱退届けの用紙は複数枚の複写になっていて、脱退の処理が完了すればそのうちの１枚が脱退通知として質問者の方のところへ送られてくるはずです。
