位相について
本の練習問題で命題を証明しています。
自信のない箇所があります。
「O_d=O_cを示せ」という問題の「O_d⊂O_c」の部分です。
記号の説明は下記の点線で囲んだ所を見てください。
その下に自分の証明を書きます。
（注）と記した辺りで、問題にあるヒント「R^nからR^mへの線形写像hはh(e_1),...,h(e_n)で一意に定まるという事実を使え」を参考にました。
使い方はこれでもいいでしょうか（他にもあるようです）。
他にも誤りや誤っていそうな所がありましたら、ご指摘、アドバイスください。
よろしくお願いします。
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Hを R^nからR^mへの線形写像全体の集合とする。
各h∈Hについて、hを表す(m, n)型実行列をf(h)と書くと、fは全単射。
h、l∈Hの間の距離をf(h)-f(l)の2-ノルムとして定める。
この距離により定まるHの位相をO_d（開集合系）で表す。
R^nからR^m（どちらもユークリッド位相を考える）への連続写像全体の集合C(R^n, R^m)にコンパクト開位相を定めることができる。
ここで、H⊂C(R^n, R^m)。
コンパクト開位相のHにおける相対位相をO_c（開集合系）で表す。
e_1,...,e_nをR^nの標準基底とする。
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以下、O_d⊂O_cを示す。
U∈O_dを固定する。
S_i={h(e_i) | h∈U}（i=1,...,n）
とおく。
全てのiについてS_iはR^mの開集合。
h∈U ⇔ [h(e_i)∈S_i（i=1,...,n）, h∈H]（注）.
ここで
W({e_i}, S_i)={h∈C(R^n, R^m) | h(e_i)∈S_i}
とおく。
（各A⊂R^n、B⊂R^mについての記法W(A, B)が前提としてあり、それに従っています。）
すると
[h(e_i)∈S_i（i=1,...,n）, h∈H]
⇔ h∈H∩[∩_(i=1)^n W({e_i}, S_i)].
よって
U=H∩[∩_(i=1)^n W({e_i}, S_i)].
ここで全てのiについて{e_i}はR^nでコンパクト、S_iはR^mの開集合。
よって全てのiについてH∩W({e_i}, S_i)∈O_cだから、
U∈O_c。
したがってO_d⊂O_c。
