歯科医師HINOMIYAです。
医療関係者ですが、本来このご質問には、法律の専門家による回答が適切だと思われます。
まったく無関係でもないので、知っている範囲で回答させていただきますが・・・
医療法人にしても財団法人にしても、公益法人の一種です。 それぞれ、定義される法律が違います。
医療法人は、医療事業を行う団体に与えられる法人格です。 医療法で定められています。
財団法人は、一定の目的のために集めあれたお金（財産）そのものに与えられる法人格です。 民法で定められています。
法人というのは、法人格を与えられた組織とか団体とかのことです。 本当は人じゃないのですが、法律上はあたかも人であるかのように取り扱ってもらいます。 そのおかげで、組織の活動なんかがスムーズに行くようになります。
さて、医療法人も財団法人も、患者さんからみれば同じものです。 重要なのは「そこが病院である」ということで、医療法で定めるところの病院であれば、一定の基準をみたしていることになります。
ただ、認可基準を考えれば、医療法人の方が作りやすいので、小規模の病院でも法人格をとりやすいですね。 財団法人は、３億円くらいの基本財産がないといけないらしいですからね。
最後に、両者とも公益法人（もちろん、法人ですから個人ではありません）ですから、営利を目的としない組織でなければなりません。 儲かったからといって、役員で利益を山分けしたりは出来ません。
公益法人について、わりと詳しいページがあったので、URLを載せておきます。
お礼
ありがとうございました。参考ページまで教えていただき助かりました。