稠密と相対位相

質問

次の問題なのですが、どう示せばいいのかわかりません。
「位相空間の部分集合A⊆Bを考える。AがBの中で稠密ということと、相対位相を考えたBの中でAが至るところ稠密ということは同じであることを示せ。」
もちろん、前者は、A⊆cl(B)となるのはわかりますが、（cl(B)はBの閉包を意味するとします）後者がどう示せばいいのかわかりません。そもそも、相対位相の取り扱い方が慣れていません。
やさしく教えてもらえれば嬉しいです。よろしくお願いします。

回答No.4

鳴瀬 美幸（@naruse） · ベストアンサー

以下は推測に過ぎませんが。

その先生は
(1) 空間Sと部分集合Aに対し、
Cl(A)=Sであるとき、Aは(Sの中で)至るところ稠密という。
# (Sの中で)至るところ稠密とは everywhere dense (in S) の邦訳ですね。
# 補足すれば、通常これは単に dense (in S) と呼ばれることが多いですね。
# ただ、そうすると次の(2)と混同することがあるのであえて
# everywhere を冠する場合もあるのです。

(2) 空間Sの部分集合A,BでA⊆Bを満たすものに対し、
Cl(A)⊇Bであるとき、AはBの中で稠密であるという。
# Bの中で稠密とは dense in B の邦訳です。

# なお、上の(1),(2)のCl (=closure)はいずれも空間Sでの閉包演算です。

と説明されたのではないのではしょうか？

このような状況のもとで、
空間SとA⊆Bを満たす部分集合A,Bを考える。次の(3)と(4)の同値性を示せ。
(3) AはBの中で稠密である。
(4) (Aを部分空間Bの部分集合と見て）Aは(Bの中で）至るところ稠密である。
というのオリジナルの問題だった？と思われます。

(3)は（推測したものが合っているとして）
定義から、Cl(A)⊇Bと同値。
(4)は（推測したものが合っているとして）
定義から、Cl_B(A)=Bと同値。
# Cl_B(A)はAの空間Bの位相（Sから誘導される相対位相）による閉包です。

ところで、Cl_B(A)=Cl(A)∩Bですから(3)と(4)が同値なのは明らかです。

お礼

はい、すみません。naruseさんのおっしゃるとおりです。すみません、説明不足で、といいますか、自分もわかっていなかったので。
ありがとうございました！あと、Cl_B(A)=Cl(A)∩Bは覚えておかないといけないのでしょうか？

回答No.6

鳴瀬 美幸（@naruse）

#4の補足です。
＞# (Sの中で)至るところ稠密とは everywhere dense (in S) の邦訳ですね。
＞# 補足すれば、通常これは単に dense (in S) と呼ばれることが多いですね。
＞# ただ、そうすると次の(2)と混同することがあるのであえて

と書きましたが(2)でB=Sの場合には(2)は(1)と同等なのは明らかです。
さらに、(3)と(4)の同値性はA⊆Bという大前提のもとで、
(1)の意味での dense in Bと(2)の意味での dense in Bは同じじゃ！
を示したことになり、everywhere dense (in ～)を単に dense (in ～)と呼んでも、変な言い方ですが、
それはwell-definedだということを保証しているんです。
つまり、(1)の立場、(2)の立場に立つ人同士の会話で共通にdense (in ～)を
使っても全然混同（不具合）は起きません。
実際、多くのTopologistはdense (in ～)を使います。
ただ、nowhere dense（至るところ非稠密）と not dense（非稠密）の意味は
異なりますので注意してください。

回答No.5

milkysugar

>Cl_B(A)=Cl(A)∩Bは覚えておかないといけないのでしょうか？

ある集合の閉包というのは，その集合を含む最小の閉集合（だったと思う）のことです．
相対位相の入った部分位相空間Bにおける開集合とは，Sにおける開集合とBの共通部分のことです．
また閉集合とは開集合の補集合のことですから，Bにおける閉集合とは，Sにおける閉集合とBの共通部分のこととなります．

従って「覚える」というよりは「当たり前と思って欲しい」というほうが正しいように思います…

お礼

はい、すみません、理解力が乏しくて・・・親切に回答してくださってありがとうございます！

回答No.3

milkysugar

＃１の補足の内容は正しいのですが，補足にはなっていないように思います…だから＃２の補足要求が来たのですが．
＃２の補足要求に加えて，さらに伺いたいのですが，
「Bの中でAがいたるところ稠密」とはどういう意味ですか？
そもそも，位相空間のある部分集合が稠密というのは，その閉包をとれば全体になるという意味なので，「至るところ稠密」というのはちょっと意味がわかりません．
それともBの任意の点の任意の開近傍（＝その点を含む開集合）がAと交わるという意味でしょうか？

それから，Aの稠密性を調べるのだから，閉包をとるのはBではなくAだと思うのですが…

もしオリジナルの問題より省略してあるところがあるのなら，全文を正確に再掲していただけると回答しやすいのですが．

補足

すみません。そこらへんはわからないのですが。大学2年生で、位相を習い始めたばかりです。教授から出された問題なので。あ、すみません。書き間違えました。B⊆cl(A)ですかね？まだ、理解していない部分が多く、自分でも問題をどう解いていいのかがわからないのです。至るところ稠密というのは、例えば、Sを位相空間としてAをその部分集合とすると、Aが（Sのなかで）至るところ稠密とはS=cl(A)ということを意味すると習いました。答えになっているでしょうか？

回答No.2

uyama33

「位相空間の部分集合A⊆Bを考える。AがBの中で稠密ということと、相対位相を考えたBの中でAが至るところ稠密ということは同じであることを
示せ。」

質問です。
問題文の

位相空間　　とは、　Ｂ　のことですか？
それとも、別の　Ｔ　ですか？　この場合は　Ｂ　は　Ｔ　の部分位相空間。

もちろん、前者は、A⊆cl(B)
の前者の意味は何ですか？

補足

すみません。きっと位相空間というのはBのことだと思います。あと、前者というのは、AがBのなかで稠密ということ、をいいました。みなさん、すみません。

回答No.1

milkysugar

そもそも相対位相というのは，「位相空間Xの任意の部分集合Yに対して，Xに定まる位相から自然に定まる，（Yの）位相」という意味です．そしてこの時YはXの部分位相空間となります．
「自然に」というのは，Yの開集合＝Xの開集合∩Y，という意味です．

従って「相対位相を考えたBの中で…」というのは，どこをBの部分位相空間と考えているのかわからないため解答しようがありません…問題の意味がわからない．

補足

早速の回答ありがとうございます。きっと、Ａ（⊆Ｔ）はＴのなかで開集合とは、Ａ＝Ｏ∩Ｔという形（ただしＯはＳの開集合）。というのを習ったので、ＡがＢのなかで至るところ稠密という風に置き換えていいのだと思いますが。どうでしょうか？補足になっていなかったらすみません。