それぞれの大学の学則によるので、まず、学則をご覧になり、それでわからなければ、学務課（教務課？）に問い合わせてください。ここでの回答は一般論なので、回答が間違っていても誰も保証はしてくれません。
ということを踏まえていただいた上で回答させていただくと、一般的には、在学中に（休学せずに）他大学の科目履修をすること自体は問題がないことが多いと思います。科目履修はその科目の単位を取ることが目的であり、その大学の学生として在籍するという意味ではありません。学生ではないので、大学から学生証も発行されませんし（科目履修生としての身分証明証は発行されます）、学割も一般的には認められません。（JRでは科目履修生は確実に不可ですが、大学が学割証明書を出した場合には学割を認めてくれる交通機関もあります。）つまり、科目履修生は学生ではない（正式な学生とは異なる）ので、二重の学籍とは考えられないと思われます。
それよりも、他大学の科目履修が休学の理由としては認められないのではないか、ということの方が問題です。
一般的な大学では、休学は、疾病その他やむを得ない理由があるときにしか認められませんし、休学届には、休学の理由、本人および保証人
保護者）の署名・捺印が必要です。海外への留学は休学の理由として認められる可能性が高いですが、国内の他大学の科目履修では認められない可能性が高いです。なぜなら、休学せずに他大学で科目履修をすることは可能ですから、休学自体の理由としては認めにくいからです。しかし、履修先の大学が引っ越さなければ通えないほど遠距離であり、資格取得などのためにどうしてもその単位が必要ということであり、保護者の同意があれば、休学の理由として認められるかもしれません。（大学によっては、自己都合ということで、実際には、理由は不問な場合もあるかもしれませんし・・・。）ただし、休学中でも授業料は全額免除になるとは限りません。大学にによりますし、休学期間にもよるのですが、休学していても半額あるいは全額の授業料を支払わけなければいけない場合も多いです。保護者の方の了解が得られているのであれば、そのあたりも含めて、大学に御相談された方がいいと思います。
お礼
unlucky001様 御礼が遅れてしまいまして大変失礼いたしました。そして、詳細な回答をありがとうございました。 この回答を踏まえたうえで、大学に相談しましたところ、休学は認められ、また履修先の大学も入学を認めてくれました。休学期間中の自大学学費等も発生しないということでした。 頑張っていきたいと思います。本当にありがとうございました。