nx(1/1+x^2)^nの極限

質問

0＜x≦1においてnx(1/1+x^2)^nの極限（n→∞のとき）はどう求めたらよいでしょうか？？？？

回答No.2

waseda2003 · ベストアンサー

ロピタルの定理を使うまでもなく，高校で習う公式
　　r>1のとき lim_(n→∞) n/(r^n)＝０
　　（もしくは，0<r<1のとき lim_(n→∞) n*(r^n)＝０）
を用いれば，1+x^2>1より
　　lim_(n→∞) nx {1/(1+x^2)}^n＝０
が得られます。

xについての条件がx≠0以外役に立たないのは，
前後に別の問題があるということでしょうか。
公式からすぐに答が出ることも気になります。
（公式を証明せよというのなら，もっとスッキリ
した形で提示されるはずですから。）
問題の写し間違いということはないでしょうか。

回答No.1

Mr_Holland

ロピタルの定理を使っていいのでしたら、次のように求めることができます。（n→∞の表記は省略します。）

　　lim nx(1/1+x^2)^n
　＝lim nx/(1+x^2)^n
　＝lim x/{2nx(1+x^2)^(n-1)}　　←ロピタルを利用
　＝lim 1/{2n(1+x^2)^(n-1)}
　＝０
（∵0＜x≦1　⇒　１＜1+x^2≦２　）