二項分布の平均

質問

数学初心者です。

二項分布の平均の公式で
「ｕx＝np」とありますが、平均を求めるにあたり
何故「np」なのでしょうか？

通常の平均の求め方とは違うのでしょうか？
（1+2+3÷3の様に）

平均の求め方の概念が分かりません。
宜しくお願いします。

回答No.4

Ishiwara

> 通常の平均の求め方とは違うのでしょうか?
まったく同じです。

サイコロを６０回振って１の目が何回出るかを「ここでの統計量」としましょう。常識的には平均１０回ですが、これはｎｐの値です。
この値を実験的に求めるために６０回の試行を100万回やって平均を出すと、
（(60回中の1の目の数)+(60回中の1の目の数)+(60回中の1の目の数)+.....）÷1,000,000 です。
この式が、あなたのいう「通常の平均の求め方」であって、値はｎｐと（ほぼ）同じになります。n は 60 のことであって 1,000,000 のことではないので、混同しないように。

なお、注意しておきたいのは「平均値」という語は次のように使われます。この中のどれであるか自明であれば、断りなく使われます。
(1) 有限回試行したときの平均値
(2) 無限回試行したときの平均値
(3) 母集団の平均値
(4) １回試行するときの期待値（(2)～(4)は、値としては同じです）

回答No.3

zk43

平均を求めるとき、(1+2+3)÷3と求めるような時は、1,2,3がどれも
等確率1/3で起こるという前提のもとに計算するときです。
これは、1,2,3に確率1/3という重みを付けて、
1×(1/3)＋2×(1/3)＋3×(1/3)
という計算をしていることになります。
しかし、1の起こる確率が1/4、2の起こる確率が1/4、3の起こる確率が
1/2のような場合には、平均は、
1×(1/4)＋2×(1/4)＋3×(1/2)
のように計算されます。
これは、イメージ的には、1,2,3が起こるという実験を数多くn回行うと
き、平均的に、1はn×(1/4)回、2はn×(1/4)回、3はn×(1/2)回起こる
と考えられるので、出る数の総合計は、
1×n×(1/4)＋2×n×(1/4)＋3×n×(1/2)
よって、これを回数nで割って、1回あたり、
1×(1/4)＋2×(1/4)＋3×(1/2)
であると考えられます。
このように考えると、一般的に、１回の実験でa1,a2,…,anが起こり得
るとし、それぞれの確率がpi（i=1,2,…,n p1+…+pn=1）とすると、
平均は、a1×p1＋…＋an×pnと計算されます。

二項分布の場合は、１回の実験で0,1,2,…,nが起こり得、k（k=0,1,2,
…,n）が起こる確率がnＣk×p^k×q^(n-k)なので、平均は、
Σ(0≦k≦n)nＣk×p^k×q^(n-k)×kを計算すればよいことになります。
（ここに、q=1-p）
後は技術的なことだけですが、(x+y)^nの２項展開において、xで微分
し、そして両辺にxを掛けた式を作って置き、x=p,y=qと代入すれば
目的の平均が分かります。

回答No.2

Mr_Holland

二項分布の期待値の計算も、「通常の平均」と同じように、確率とその値の積を足し合わせて求めています。
　（「通常の平均」とは、たとえば、サイコロの出た目の期待値の計算で、
　　(1/6)*1+(1/6)*2+(1/6)*3+(1/6)*4+(1/6)*5+(1/6)*6
　＝(1/6)*21 ＝7/2
として求めることを言われていますよね。）

　二項分布でも、計算が複雑になるので　Σ　を使って表しますが、基本的な期待値の求め方は同じです。
　二項分布の確率は、nCk・p^k・(1-p)^(n-k) ですから、これにその値ｋを掛けて、０≦ｋ≦ｎの範囲で足し合わせれば、期待値が求まります。
　以下に、その計算過程を記しますので、参考にしてください。

　　[k=0→n]ΣnCk・p^k・(1-p)^(n-k)×k
　＝[k=1→n]Σ n!/{k!(n-k)!}・p^k・(1-p)^(n-k)×k　　（Σの中身はk=0のとき０なので、範囲を１≦ｋ≦ｎに変更。）
　＝np×[k=1→n]Σ (n-1)!/{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}・p^(k-1)・(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
　＝np×[j=0→n-1]Σ (n-1)!/{j!((n-1)-j)!}・p^j・(1-p)^{(n-1)-j}　　（k-1＝j と置換。）
　＝np×[j=0→n-1]Σ (n-1)Cj・p^j・(1-p)^{(n-1)-j}
　＝np×{p+(1-p)}^(n-1)
　＝np×１
　＝np

回答No.1

popesyu

二項分布の話なんですよね？？
その場合npは平均ではなく、いわゆる期待値を求める計算式ですよ。

例えばコインを20回投げて表の出る確率（期待値）を出す場合、
p=1/2、n=20
ですから10が答えとなります。