【数学Ｂ】連立方程式がとけない・・・

質問

【問】正四面体の３つの頂点がＡ（０，１，－２）Ｂ（２，３，－２）Ｃ（０，３，０）であるとき、第４の頂点Ｄの座標を求めよ。
【答】
（２，１，０）（－２／３，１１／３，－８／３）
【自己解答方針】
（一部省略）
正四面体なのでＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤより
ＡＤ^2＝ＣＤ^2から
ｙ＋ｚ＝１・・・(1)
ＢＤ^2＝ＣＤ^2
－ｘ＋ｚ＝－２・・・(2)
ＡＤ^2＝ＢＤ^2
ｘ＋ｙ＝３・・・(3)

ここで(1)(2)(3)を連立させてといてみたんですが解けませんでした。。
でも答えのｘ，ｙ，ｚをあてはめれば確かに(1)(2)(3)は成り立ちます。。
この３つの式から解を導く方法はあるのでしょうか？
またこの解き方がまちがっているのであれば解答方法お願いします。

回答No.4

noname#20644 · ベストアンサー

AからBに向かうベクトルをV(AB)という風に書くことにします。すると
V(AB)=2i+2j+0k、V(AC)=0i+2j+2k
Dの座標をD(x,y,z)とすると、V(AD)=xi+(y-1)j+(z+2)k
さて、ベクトルV(AB)とV(AC)の内積は、2・0+2・2+0・2=4
これは、ベクトルV(AB)とV(AD)の内積、2・x+2・(y-1)+0・(z+2)、および
ベクトルV(AC)とV(AD)の内積、0・x+2・(y-1)+2・(z+2)
に等しくなければならない。
故に、
x+(y-1)=2　　　　　　　　　(1)
(y-1)+(z+2)=2　　　 　　　(2)

更に、V(DB)とV(DC)の内積に等しくなければならない。
V(DB)=(2-x)i+(3-y)j+(-2-z)k
V(DC)=(0-x)i+(3-y)j+(0-z)k
故に、-x(2-x)+(3-y)^2+z(2+z)=4　　(3)
(1)より、x=3-y
(2)より、z=1-y
これらを(3)に代入して、
-(3-y){2-(3-y)}+(3-y)^2+(1-y){2+(1-y)}=4
(3-y)^2-2・(3-y)+(3-y)^2+(1-y)(3-y)=4
2・y^2-12・y+18-6+2・y+y^2-4・y+3=4
3・y^2-14・y+11=0
これから、y=(7±√49-33)/3=(7±4)/3
故に、x=3-(7±4)/3=-(-2±4)/3
z=1-(7±4)/3=-(4±4)/3

答え：D(-2/3,11/3,-8/3)、または、D(2,1,0)

回答No.3

noname#24129

３つの未知数を決定するのには、少なくとも３つの条件式が必要です。
(1)(2)(3)で見かけ上は条件式がそろっているようですが、
(2)(3)より、y+z=1が導かれ、これが、(1)と同じであるので、
(1)は必要ありません。逆にいうと、1つ条件式が足りないのです。

回答No.2

yori3

いろいろ解き方があると思いますが、AD^2=BD^2=CD^2に、辺の長さを加えてみましょう。
三点が出ているので、正四面体の一辺の長さが求められるはずです。
その辺の長さの２乗を求めると、８なので、
AD^2=BD^2=CD^2=8となります。
ここで、例えばCD^2=8のy,zに(2)(3)を代入してみてはどうでしょうか。
そうすると、xの二次方程式ができますので、それを解くとxが求められます。

回答No.1

pocopeco

(1) y=1-z
(2) x=2+z
(3) x+y=(2+z)+(1-z)=3
で決まらないという事ですよね？

条件がもうひとつありますよ。
正四面体なので、AD=BD=CD=AC
ACでなく、AB,BC でもよいです。