再チャレンジ、エジプト分数について
p(n)=24n+1
p(n)＝4xyz-y-z （１）
p(n)＝4xyz-y-4z （２）
（１）について計算すると
24n+1=4xyz-y-z
4w=y+z+1 とおくと
24n+4w=4xyz
24n+4w=4xy(4w-y-1)
6n+w=xy(4w-y-1)
⇒ 6n+f=ab(4f-b-1) （３）
（２）について計算すると
24n+1=4xyz-y-4z
4w=1+y とおくと
24n+4w=4xyz-4z
6n+w=xz(4w-1)-z
6n+w=4xwz-xz-z
⇒ 6n+f=u(4fs-s-1) （４）
ここで、KとHを示しておきます
K=F［(4f-b)-(6n+f)/ab］（５）
H=F［4sf-s-(6n+f)/u〕 （６）
Fは自然数に対応する関数でたとえば、
U=F{1，2、3.5、6，7.5}の時には
U={1, 2, 6 }となって、自然数以外の数を
とりはぶく関数とします。それ以外は
普通の自然数の関数です。
次に
ab*K=ab*(4f-b)-(6n+f) （７）
u*H=u*(4sf-s)-(6n+f) （８）
K-1=(4f-b-1)-(6n+f)/ab （９）
H-1=(4sf-s-1)-(6n+f)/u （１０）
ab*(K-1)=u*(H-1)+(4f-b-1)*ab-(4sf-s-1)*u （１１）
ここで、(K-1)*(H-1)=0を想定しております。
｛Ｋ≠１、K=4f-b-1⇒ab=6n+f、H=1} （１２）
前の（１２）を証明できればいいのですが。
（１１）より
ab=｛(4f-1)s-1｝*u という等式を代入してみましょう
{(4f-1)s-1}*(K-1)=(H-1)＋(4f-b-1)*{(4f-1)s-1｝-(4sf-s-1)
｛(4f-1)s-1}*{K-4f+b+1}=H-1
K=4f-b-1⇒H=1
K=1を満たす自然数a,b,dが存在する場合、K=1となりますので、自然数解
は存在する。ある意味あたりまえです。では、K≠１の時はどうでしょう。
この場合、計算してみるとK=4f-b-1をみたせば、H=1となり、もう片方の
関数の自然数s,f,uが存在する場合となる。これは、Kの解が存在しないとき
Hの解が存在するということです。すなわちHとKのどちらかの式を満たす
数はnがどのような数であろうとも解が存在することを意味するものではない
でしょうか。
6n+f=ab
