臭いの理由（由来）についてはわからないのですが…
新しいオイルの補充時にシリンダーヘッド周りにこぼしたor注入口からあふれさせた、または古いオイルを抜く時に周り（特に排気管周りやシリンダーブロック）に飛び散ったオイルをきちんと（パーツクリーナーで洗い流すなど）掃除していない、などでエンジン周りで高温になる場所に付いたオイルが焼けた臭いがしているのではないかと思います。
※エブリイはエンジンがかなり寝ていますので（旧規格の最終モデルの場合は更に注入口からのパイプが長いので）、普通の直立エンジンの場合と同じ感じでジョッキを傾けて勢いよくオイルを注ぐ（補充する）と注入口からあふれやすいです。
※生臭いような「玉葱臭」でしたら新油のような気がします。←古いオイルが焼けた場合はもっと苦い臭い（表現が難しいのですが…）になると思います。
または、オイルを補充したあとにフィラーキャップ（←オイル注入口のふた）をつけ忘れている可能性も考えられます。
オイル交換作業前にはしなかった臭いで、しかもそれがしばらくしてもずっと臭うようでしたら、オイル交換を実施した店舗に相談される事をお勧めします。
※フィラーキャップのつけ忘れの場合は、タイミングチェーンやカムシャフトなどの回転によってオイルがエンジンルーム内に飛び散ります。補機類ベルトに付着したりオルタネーターの内部に入ると悪影響があります。
※エブリイ（型式＆年式などの詳細情報がわかりませんが、新規格以降のモデルは全て）は、助手席側のシート下にオイルの注入口と排気マニホールド（ターボ車の場合はターボチャージャーも）などの高温になる場所がありますので、エンジン上部からオイルが垂れると最悪は煙が出たり発火する危険性があります。
レベルゲージ（←運転手側だと思います）を抜き差しする時やフィラーキャップの脱着時などに１滴だけ垂らしてしまったくらいでしたら数時間～数日程度で焼き切れて匂わなくなると思いますが、念のためエンジンルームの点検を行ってください。
直接の回答ではないのですが、ご質問の文中に「すごい～匂いがします。」とあり、気になりましたので…。
お礼
ご回答ありがとうございます。 匂いがした直後に交換した所のオイル担当責任者に電話したところ、「よかったら成分調査に出しますよ」と言ってくれたのですが、 結局のところ、ホームセンターで メーカー純正のオイルを買って、 自分で再交換したら 匂いはとまりました。 もう、ぜったい このメーカーのオイルはいやだ！ でも、某オー戸後退スでは、何で スズキの純正オイル 無いんだ？？？ 注（後退＝バック）