バネの微分方程式を解く問題。
大学の物理の問題です。
途中まで解けたのですが、3番目の設問がわからず解けません。教えてください。
問題は次の通りです。
バネが垂直に垂れていて、その先端に質量mの物体がついています。バネの強さはk、重力定数をgとし、z軸を下向きにとり、物体の位置の座標をzとして次の問題に答えてください。
(1)物体mの運動方程式を書く。
(2)この運動方程式は z=y+aと置き換えることにより、yに対する簡単な方程式になることを示す。このときのaはいくらか。
解)z=a は重りのない場合の平衡点。
重りをつけた時、釣り合いの状態は平衡点からaだけ下がっているとする。
z=a の時、mg=ak
よって、a=mg/k
ここで、運動方程式は m(d^2z/dt^2)=-kz+mg=-kz+ak=-k(z-a)
z=y+a すなわち z-a=y と置き換えると m{d^2(y+a)/dt^2}=-kz
(3)yの微分方程式を解き、yを求める。ただし、初期値として、t=0 で y=b, dy/dt=0 とする。
この解がわかりません。教えてください。お願いします。