条件を満たす自然数
この前質問して解決したと思ったのですが、疑問に思うことができてしまったのでもう一度質問します。
nを自然数とするとき、数列an=(3^n+5^n)/2^nとおく。
この時、nが偶数ならanは自然数でないことを示し、anが自然数となるｎをすべて求めよ。
そこで
an = (9^k+25^k)/4^k = ((2x4+1)^k+(6x4+1)^k)/4~k
ここで分子は4の倍数 + 2と 表す事ができるので,
an= ( 4xl+2)/4^k (lは 自然数)
となる。
ところでこれは分母が4の倍数であるが、分子が4の倍数+2であるため割り切れない。 したがって anは自然数でない。
との回答を頂き、これには納得しました。
ところが、その次の
nが奇数であれば n=2k+1(K=0,1,2,3,,)と表すことができる。
すると与式は
an= ((3x(2*4+1)^k+5x(6:4+1)^k)/2/4^k
となる。
これはまた
an= (4l+8)/2/4^k (ｌは自然数)
と書く事ができる。 これが 自然数になるためには K=0,1のときのみである
したがって anが自然数となる nは n= 1,3 のみである 。
n=1 an= 4 n=3 an=19
とできることが疑問です。
よく考えてみると、l=6,k=2やl=30,k=3でもan= (4l+8)/2/4^kは自然数となりますし・・・
かといって、そんな場合はないとの証明もできません。
分かる方、回答お願いします。
お礼
回答ありがとうございました。素直に回答嬉しいです。友達の悩みは恋愛ですが複雑なので、もう少し考えて見守ってやろうと思います。