Henselの補題の証明で質問です。
Henselの補題の証明で質問です。
よろしくお願い致します。
[命題(Henselの補題)] pを素数とするとZ[x]∋f(x)はモニックでdegf(x)≧1とする。
もし,GCD{g(x),h(x)}=1なるモニックなg(x),h(x)∈Z[x] (但し,degg(x),degh(x)≧1,
f(x)=g(x)h(x) (mod p) …【1】)
が存在するなら
g_1(x)=g(x),h_1(x)=h(x),
g_k(x)≡g_{k-1}(x) (mod p^{k-1}) (但し,k>1)
h_k(x)≡h_{k-1}(x) (mod p^{k-1}) (但し,k>1)
f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^k) (但し,k≧1)
…【2】
なるモニックの列{g_k},{h_k}⊂Z{x]が存在することを示せ。
という問題です。
[証]
kについての帰納法で示す。
(i) k=1の時,仮定【1】よりg_1(x):=g(x),h_1(x):=h(x)と採ればf(x)=g_1(x)h_1(x)と書ける。
そこで
(ii) k≧1の時,g_1,g_2,…,g_k,h_1,h_2,…,h_kが【2】を満たすと仮定すると…【3】
GCD{g_k(x),h_k(x)}=1なので、、、
と続く予定なのですが
GCD{g_k(x),h_(x)}=1となる理由が分かりません。
『∵【3】(帰納法の仮定)より,
g(x)≡g_1(x)≡g_2(x)≡…≡g_k(x)(mod p),h(x)≡h_1(x)≡h_2(x)≡…≡h_k(x)(mod p)となる。
この時,GCD{g(x),h(x)}=GCD{g_1(x),h_1(x)}=…=GCD{g_k(x),h_k(x)}=1』
が言えれば
∃α(x),β(x)∈Z[x];α(x)g_(x)+β(x)h_k(x)=1…【4】(∵某命題).
そして今,f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^k) (∵【3】(帰納法の仮定))が成り立っているから,
f(x)-g_k(x)h_k(x)=p^kF(x)…【5】.
従って f(x)=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)・1=g_k(x)h_k(x)+p^kF(x)(g_k(x)α(x)+h_k(x)β(x))
=g_k(x)h_k(x)+g_k(x)p^kα(x)F(x)+p^kβ(x)F(x)h_k(x)
=g_k(x)h_k(x)+g_k(x)p^kα(x)F(x)+p^kβ(x)F(x)h_k(x)+p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2-p^kα(x)β(x)F(x)^2
=(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2で
g_{k+1}:=(x)g_k(x)+p^kβ(x)F(x)、h_{k+1}:=h_k(x)+p^kα(x)F(x) …【6】と置けば
g_{k+1}(x)≡g_k(x) (mod p^k) and h_{k+1}(x)≡h_k(x) (mod p^k) (∵【6】).
従ってf(x)-g_k+1(x)h_k+1(x)=f(x)-(g_k(x)+p_kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))
=(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2-(g_k(x)+p^kβ(x)F(x))(h_k(x)+p^kα(x)F(x))=-p^{2k}α(x)β(x)F(x)^2
≡0 (mod p^{k+1}) (∵≡の定義), つまり f(x)≡g_k(x)h_k(x) (mod p^{k+1}).
従って ∀k∈Nに対して, 【2】が成り立つ。 (終)
という風に証明に至れるのですが『 』の箇所がどうして成り立つのかがいません。
どうすれば『 』は成り立ちますでしょうか?
