多分、ご質問の趣旨は『老齢給付』［老齢基礎年金及び老齢厚生年金又は老齢共済年金］の受給資格のことと思います。
しかし、公的年金には『老齢給付』の他に『遺族給付』と『障害給付』があるので、念の為に３つの給付を説明いたします。
１ 老齢給付
他の方がご回答を為されていますように、簡単に書けば「国民年金の保険料納付」＋「厚生年金の加入期間」＝２５年で老齢基礎年金の受給権取得となります。但し、老齢基礎年金を満額受給する為には、２５年ではなく４０年となります。
と言う事で、退職後に再就職し無いのであれば少なくとも５年間は国民年金の保険料を納める必要が有ります。
尚、老齢基礎年金の受給権を獲得したものに対する老齢厚生年金の支給パターンですが、次のようになっております。
・老齢基礎年金の受給権を獲得した者に１２ヶ月（１年）以上の厚生年金の被保険者がある場合
⇒厚生年金の加入実績に応じた６０歳台前半の年金［『特別支給の老齢厚生年金』。但し、生年月日によって支給開始年齢及び支給内容が異なる。］
・老齢基礎年金の受給権を獲得した者に１ヶ月以上の厚生年金の被保険者がある場合
⇒６５歳になると、上記の計算式による年数に応じた「老齢基礎年金」と、厚生年金の加入実績に応じた「老齢厚生年金」が支給される。
２ 遺族給付
これは、ご質問者様死亡時点での一定の遺族に支給されるものであり、ご質問者様が死亡する原因となった傷病の初診日にどの公的年金に加入していたか？その年金制度に対する保険料納付実績がどうなっているのか？で、給付されます。
現時点で病気や怪我を生じていないのであれば、初診日における加入年金制度は「国民年金」となりますので、給付条件等は以下の様になります。
○受給額
基本額は老齢基礎年金と同額。
次に書く受給権者の数と続柄に応じて加算が有る。
○受給権者［被保険者死亡時点で］
ａ 以下のいずれかに該当する子供。年齢が条件に達した時に、権利を失う。
（1）１８歳に達した後、最初の３月３１日を迎えていない者。
［簡略すれば１８歳数ヶ月以内の者］
（2）国民年金法に定める障害等級１級又は２級に該当している、２０歳未満の者
ｂ 上記ａに該当する子供が１名以上いる妻。夫には給付されない。
対象となる子供が大きくなって、全部の子供が年齢の条件に達したら完全に権利喪失。
⇒死亡当時、残された妻に条件に当てはまる子供が２名（１８歳と１歳）いたとして、
翌年度に上の子が権利を失ったら加算の対象となる人数は下の子（１名）のみとなり、
下の子が条件に該当しなくなったら、給付は終了。
○保険料納付要件
現時点では、この要件には原則と特例の２種類が有る。
細かい説明は読むのも大変でしょうから省くとして、国民年金の保険料を滞納しなければ大丈夫。
保険料の免除を受けていても構いません［保険料の滞納ではないから］。
３ 障害給付
これは、ご質問者様が障害状態となる原因となった傷病の初診日にどの公的年金に加入していたか？その年金制度に対する保険料納付実績がどうなっているのか？障害の等級は？で、給付されます。
現時点で病気や怪我を生じていないのであれば、初診日における加入年金制度は「国民年金」となりますので、給付条件等は以下の様になります。
○障害の等級
国民年金法に定める１級又は２級
○受給額
２級は老齢基礎年金と同額。
１級は老齢基礎年金の１．２５倍。
遺族給付のところで書いた（条件に該当する）子供の数に応じて加算が有る。
○受給権者
被保険者本人
○保険料納付要件
現時点では、この要件には原則と特例の２種類が有る。
細かい説明は読むのも大変でしょうから省くとして、国民年金の保険料を滞納しなければ大丈夫。
保険料の免除を受けていても構いません［保険料の滞納ではないから］。
お礼
有難うございます。