住所が変わったことを通知する法律はありませんが、住民基本台帳事務は、各自治体に広い裁量権を与えていますので、自治体によっては世帯主に世帯員の住所変更を通知しているところもあるかもしれません。これはその自治体に聞かないとはっきりしたことはわかりません。
その他の住所を知る方法としては、住民票の除票や戸籍の附票をとるという方法があります。
住民票の除票とは、そこの住民ではなくなった時に今までこういう住民票がありましたというものを記録として残しておくものです。転出先が載りますのでわかります。
戸籍の附票とは、戸籍に付随する資料として住所の移動が載るもので、これも転出先が載ります。ただ、これはあくまで戸籍に付随するものなので、離婚後に引っ越した場合には、元の戸籍の附票には記載されません。(これは離婚のとき別の戸籍を作った場合。筆頭者となっていて元の戸籍にいる場合はこの限りではありません。)
ちなみにNo.1さんは戸籍手続きと住民記録手続きを混同されているようです。
選挙権は離婚ではなく、転出転入にかかってきます。
また女性は離婚後6ヶ月を過ぎるまでは一定の場合を除いて法的に再婚できませんが、離婚後6ヶ月間に妊娠しても元の夫との子供としては扱われません。離婚後300日以内に出産され、医師による前夫以外の子供である証明がない場合は、前夫の子として推定されます。