Diffie-Hellman 鍵交換の仕組みがわかりません。

質問

Diffie-Hellman 鍵交換の仕組みがわかりません。

下記、URLを参考にしましたがイマイチすっきり理解できませんでした。
http://ascii-business.com/vpn/vpn5-5.html
http://ascii-business.com/vpn/images/vpn5-5-04b.jpg

※URLの内容を元に質問します。
公開鍵の仕組みで共通鍵を交換するというのはわかりました。
AさんとBさんで鍵を交換する場合にAさんの乱数A、Bさんの乱数Bを使って、お互いに結果A,Bを交換します。
その後、交換した結果に対して乱数で鍵を生成する部分ですが、互いに相手の乱数はわからず、違うものを利用しているにもかかわらず、なぜ同じ鍵が生成できるのか、わかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

mtaka2 · ベストアンサー

ある数値gを元に、
[結果A]=gの[乱数A]乗
[結果B]=gの[乱数B]乗
[共通鍵]=gの([乱数A]×[乱数B])乗
として処理しています。
べき乗の数学的原理として、「(Xのa乗)のb乗」=「(Xのb乗)のa乗」=「Xの(a×b)乗」が成り立ちますので、

Aでは、[結果B]の[乱数A]乗 を計算すると、=(gの[乱数B]乗)の[乱数A]乗 = gの([乱数A]×[乱数B])乗 = [共通鍵] になる
Bでは、[結果A]の[乱数B]乗 を計算すると、=(gの[乱数A]乗)の[乱数B]乗 = gの([乱数A]×[乱数B])乗 = [共通鍵] になる

という流れで、共通鍵が得られます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

「べき乗の数学的原理」納得です。
ただ、ある数値g は A と B で同じものを使用するのでしょうか？
そもそも同じものの場合はどのようにその情報を交換するのでしょうか？
この場合ですと 数値g が共通鍵でよいのではと、さらなる疑問がでてきました。

よろしければ、引き続き教えて下さいm(_ _)m

回答No.3

mtaka2

> ある数値g は A と B で同じものを使用するのでしょうか？

gはAとBで同じものを使います。そうでないと「[共通鍵]=gの([乱数A]×[乱数B])乗」がAとBで同じになりません。

> そもそも同じものの場合はどのようにその情報を交換するのでしょうか？

普通に交換します。gは盗聴されても構いません。
「g」「結果A」「結果B」の3つは盗聴されても構わない、という前提です。
前回の回答では説明を省いたのですが、これらの計算は「巨大な素数pで割った余り」という剰余環の元で計算します。
その場合、上述の3つが分かっても、「gの([乱数A]×[乱数B])乗」は容易に計算できない、というのがこの鍵交換のキモになります。

> 数値g が共通鍵でよいのでは

盗聴される可能性がありますから、鍵には使えません。

お礼

あぁ、そうですよね。
変な質問をしてすみません。

数値ｇは公開するので、AさんもBさんも同じものが利用でき、尚且つ共通鍵には利用できない。

おかげさまで、すっきりと理解することができました。

ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

Tacosan

wikipedia で「ディフィー・へルマン鍵共有」を調べた方がいいかも.

お礼

ご回答ありがとうございます。

Wikiも参考にしましたが、さらに難しそうでしたので、こちらに質問することにしました(;^ω^A