通報する『内容』によると思います。
匿名の通報であっても、生活保護を受けている『誰』に対する内容であるのかが客観的にわかる内容で、それなりに信憑性のあるものであるならば、こういうご時勢ですから役所は必ず動くはずです。
但し、役所がどういう対応をとるのか、それを通報者に逐一報告する義務は、役所にはまったくありません。これは匿名に限らず、質問者様がきちんと氏名を名乗ったとしても同様です。なぜならば、『どこの誰が生活保護を受けているか、もしくは受けていないのか』という情報自体がすでに保護されるべき『個人情報』であるからです。
仮に某県Ａ市に住む甲という人物が生活保護の不正受給をしているかどうかを調べてほしい、という内容の通報をしたとして、それについてＡ市役所の職員が「甲は不正を働いていました」と答えるにしろ「不正の事実は見つかりませんでした」にしろ、『甲がＡ市役所で生活保護を受けている』という個人情報を漏らしてしまっていることにはなんら違いはないからです。
もうひとつ、一般の方が『これは生活保護の不正受給だろう』と考えるようなことでも、法律上は必ずしも不正とは言えない場合があります（細かいことはこういうところで公表するのは控えます）。
この場合、いくら役所に「不正」を通報したところで、役所の方は「不正」だとは考えていないわけですから、どんなにがんばっても当然ですが役所は何もしません。決して役所が怠慢なのではなく、逆に人権侵害として役所が訴えられたり、マスコミの格好の役所攻撃の餌食になるネタを提供するわけにはいかないからです。
